高中数学创新题的解题策略

张丽秋

摘要：创新题综合考查了考生的阅读理解、数据处理、分析推理、文字概括和书面表达及知识迁移等方面的能力。解题教学中需要一定的方法。笔者探索出几种常用的策略。

关键词：高中数学；创新题；解题策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）02-0110

近年来，创新题在考卷中频频出现。这类根据材料提供的信息现场阅读、理解和运用的新题型，知识背景较为宽广，知识跨度大，包含的信息也较多，它综合考查了考生的阅读理解、数据处理、分析推理、文字概括和书面表达及知识迁移等诸多方面的能力。但学生创新题得分率普遍较低，其主要原因有：1. 学生无阅读习惯，不能从阅读中发现信息；2. 归纳、抽象、概括能力差；3. 不会大担地猜测、假设；4. 不会构建数学模型。基于这些现状，笔者通过演练这类创新题，发现只有理清几种关系，那么，难题也都会迎刃而解！

一、特殊与一般关系

一般性寓于特殊之中，反之，通过对特殊规律的观察又可发现发现一般规律，从而使特殊与一般达到和谐统一。

例1. 求证：2n>n2（n>4）.

这一规律的探索、发现可通过特殊发现一般的策略：

这是先猜想，后證明。先猜后证的数学思想应该是探索性学习的主要指导思想。

二、反面与正面关系

正如方程与函数、常量与变量、相等与不等、直与曲、有限与无限，都是正面与反面，既互相对立，又可相互转化，有时可出奇制胜地解决问题。如解方程cos2x+3|cosx|+2=0，要去绝对值符号、显得繁琐，若从其反面——添绝对值符号，使其方程转化为|cosx|2+3|cosx|+2=0，它丝毫无损于原方程的同解性，但从（|cosx|+2）（|cosx|+1）=0，分解因式，却巧妙地解出了三角方程，这是典型的反面与正面达到和谐境界的体现。

例2. 设△ABC 的三边a 、b、c 成等差数列，则它的三内角中至少有两个角不超过■

分析：满足以上条件的三角形三内角中至少有两个角不超过■，换句话说，至多只有一个角能超过■，正面证明此论断无从下手，采取反面切入求解——“有两个角超过■”，因为题设有a、b、c 成等差数列，b=■（a+c），不妨设a≤b≤c推出A≤B≤C， 要使结论成立，只要证明B≤■，这时用反证法，假设B>■推出cosB<■用余弦定理■<■ a2+c2-b2a2+c2-ac，代入b=■（a+c）得出（■）2>a2+c2-ac a2+c2+2ac>4a2+4c2-4ac，得出3a2+3c2-6ac<0 ，即3（a-c）2<0矛盾，故B>■不可能，所以B≤■，得出△ABC 至少有两个角不超于■

三、具体与抽象关系

抽象是数学的一大特点，抽象又是具体的一面镜子，愈抽象的数学材料———空间形式、数量关系，愈有可能运用到更广泛的领域中去，这就是具体激活抽象的理论基础。

例4. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0

（a≠0且a≠c）的两个根为tanα、tanβ，求tan（α+β）的值。

分析：用韦达定理的根与系数的关系容易得出tan（α+β）=■=■=-■=■

这是相对具体的数学问题，是教材上的原型题，在和角的正切公式中，分子中有两根之和，分母中有两根之积，这是下面的抽象的变式题的构造特征，读者可看出具体可以激活抽象的变式题。

例3变式：tanθ与tan（■-θ）为二次方程x2+px+q=0的两根，且tanθ：tan（■-θ）=3∶2，求p、q的值。

解：∵θ+■-θ=■。则tan■=■=■

∴q-p=1. ①

又∵tan（■-θ）=■tanθ=■，推出关于tanθ的一元二次方程2tan2θ+ 5tanθ-3=0 tanθ=■或tanθ=-3，得tan（■-θ）=■或tan（■-θ）=-2与①结合.联立解出p=-■p=■或p=-6p=5具体的原型题与抽象的变式题相比较，具体激活了抽象.

四、简单与复杂关系

复杂是由简单构造而成的，只要找到与复杂问题在结构、性质、关系等方面相似的简单问题，再对这些简单的类比问题看透彻了，钻研深刻了，则简单数学类比题可以激活复杂的数学题，复杂数学题可以迎刃而解。

例4. 设x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

如果读者对此题难以下手，那么可构造简单类比题：设x，y ∈（0，1）求证：x（1-y）+y（1-x）<1.

用比差法构造函数f（x）=1-[x（1-y）+y（1-x）]将x视为变量，而将y 视为常量，可借助一次函数的图像特征给予解决。f（x）=1-[x-xy+y-yx]=x（2y-1）+（1-y），f（0）=1-y>0，f（1）=2y-1+（1-y）=y>0.由于一次函数f（x）的图像是一条直线，所以当00成立，故原不等式成立。

例5的证明：设f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]=（y+z-1）x+（yz +1-y-z），由于00，f（1）=yz>0，f（x）是将y、z视为常量，而将x视为变量，故f（x）这个一次函数图像是一条直线，当00成立，故原不等式成立。

简单类比题的确可以激活复杂问题，华罗庚教授说：“要善于退，足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍”。其原因也是简单类比题可激活复杂数学题。

总之，激活既有微观激活———概念激活，又有宏观激活———方法与策略激活，更有解题原则的激活，激活策略应该是数学解题的一大诀窍。考生在考试过程中遇到这类试题时，要沉着冷静地仔细研读试题提供的材料，找准突破口，和自己已有的知识建立起实质性的联系，和谐地运用所学的数学知识和数学思想方法解决新问题。

（作者单位：浙江省苍南县桥墩高级中学 325800）