解极值点问题巧设构 觅新函数性质问题破

☉四川省巴中中学 涂盛刚

一、极值点偏移的含义

我们知道，若函数（fx）对定义域内任意自变量x都有（fx）=（f2m-x），则函数（fx）关于直线x=m对称，且x=m必为单峰函数（fx）的极值点.如二次函数（fx）为单峰函数，其顶点就是极值点x0，若（fx）=C的两根的中点为则刚好有即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若等变为不等，则极值点偏移：若单峰函数（fx）的极值点为m，且函数（fx）满足定义域内x=m左侧的任意自变量x都有（fx）＞（f2m-x）或（fx）＜（f2m-x），则函数（fx）极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数（fx）定义域内任意不同的实数x1，x2满足（fx1）=（fx2），则与极值点m必有确定的大小关系：

若m＜，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如图1，函数g（x）的极值点x=1刚好在方程g（x）=e的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.

图1

二、例题分析

例1已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜2.

点拨：本题是典型的极值点偏移问题，需先分析出原函数的极值点，找到两个根的大致取值范围，再将其中一个根进行对称的转化变形，使得x与2-x在同一单调区间内，进而利用函数的单调性分析.

解：（1）（0，+∞）（略）.

（2）由（1）知，f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.

由f（x1）=f（x2）=0，可设x1＜1＜x2.

构造辅助函数F（x）=f（x）-f（2-x），则

F′（x）=f′（x）+f′（2-x）=（x-1）（ex+2a）+（1-x）（e2-x+2a）=（x-1）（ex-e2-x）.

当x＜1时，x-1＜0，ex-e2-x＜0，则F′（x）＞0，得F（x）在（1，+∞）上单调递增.

又F（1）=0，故F（x）＜0，（x＜1）.

即f（x）＜f（2-x），（x＜1）.

将x1代入上述不等式中得f（x1）=f（x2）＜f（2-x1）.

又x2＞1，2-x1＞1，f（x）在（1，+∞）上单调递增，

故x2＜1，2-x1，x1+x2＜2.

归纳小结：用对称化构造的方法解极值点偏移问题一般情况下可分为以下三步.

第一步：求导，获得函数f（x）的单调性、极值情况，作出函数f（x）的大致图像.由f（x1）=f（x2）得到x1，x2的取值范围（用到数形结合的思想方法）.

第二步：构造辅助函数，当结论为x1+x2＞（＜）2x0时，构造函数F（x）=（fx）-（f2x0-x）；当结论为x1·x2＞（＜）时，构造函数F（x）=（fx）；然后对F（x）求导，限定范围（x1或x2的范围），判定符合，得不等式.

第三步：代入x1或x2，利用f（x1）=f（x2）与f（x）的单调性证明最终结论.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅单调，单调产生不等式，赋值其中得结论.

例2已知函数f（x）=x e-x（x∈R），如果x1≠x2且f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2.

证明：第一步：因为f′（x）=（1-x）e-x.

令f′（x）=（1-x）e-x=0，得x=1.

所以f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减.

函数（fx）在x=1处取得极大值

设0＜x1＜x2，于是数形结合根据f（x）的图像可得0＜x1＜1＜x2.

当x2≥2时，不等式x1+x2＞2显然成立.

当x2＜2时，欲证明x1+x2＞2即证x1＞2-x2.

因为1＜x2＜2，所以0＜2-x2＜1.

第二步：构造辅助函数F（x）=（fx）-（f2-x），x∈（1，2），则F（′x）=f（′x）-f（′2-x）=（1-x）（

当1＜x＜2时，F′（x）＞0，即F（x）在（1，2）上单调递增.

所以F（x）＞F（1）=0，即f（x）-f（2-x）＞0，x∈（1，2）.

第三步：由于1

又因为f（x1）=f（x2），所以f（x1）＞f（2-x2）.

又因为f（x）在（-∞，1）上单调递增，

所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2.

例3 已知函数f（x）=x ln x的图像与直线y=m交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：

证明：第一步：由f（′x）=ln x+1易知，（fx）在）上单调递增.

当0＜x＜1时，f（x）＜0；当x＞1时，f（x）＞0.

设0＜x1＜x2，于是数形结合根据（fx）图像可得

图2

（1）当a=2时，求过点P（0，2）与y=（fx）相切的直线方程；

（2）当y=（fx）存在两个不同零点x1，x（2x1＜x2）时，求证：x1x2＜x1+x2.

解：（1）（待定切点法）易得切点为（1，e），过点P的切线方程为y=（e-2）x+1.

（2）巧构造，构造非对称函数证明.

f（′x）=ex-a，若a≤0，则f（′x）＞0，单调增函数不可能有两个不同零点.

当a＞0时，令f（′x）=0，得x=ln a.

于是f（′x）＜0，x∈（ln a，+∞）时f（′x）＞0.

所以（fx）在（0，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增，x=ln a处取极小值（fln a）=a（2-ln a），要使（fx）存在两个不同的零点，需且只须（fln a）＜0，即ln a＞2，亦即a＞e2，结合（fx）的图像可得x1＜ln a＜x2.

欲证x1x2＜x1+x2.

只需证ex1+x2≤a2，即需证明x1+x2≤2ln a即可.

令F（x）=（fx）-（f2ln a-x）（1＜x＜ln a），

故F（x）在（1，ln a）上单调递增.

所以F（x）＜F（ln a）=0，

即f（x）＜f（2ln a-x）在x∈（1，ln a）上成立.

令x=x1，得f（x1）＜f（2ln a-x1）.

又f（x1）=f（x2），所以f（x2）＜f（2ln a-x1）.

结合f（x）在（ln a，+∞）上递增，故x2＜2ln a-x1.

即x1+x2＜2ln a，原命题得证可得x1x2＜x1+x2.

构造函数，借助其单调性、对称性等性质和极值、最值等特点解决原问题，是解决函数与导数综合问题的常用方法.概括地讲“寻觅函数性质特征，巧设构造突破难点”，是解决极值点偏移问题的有效方法.H