两均匀带电半球壳静电相互作用力解法讨论

张 勇 潘 磊 桑芝芳

(苏州大学物理与光电·能源学部 江苏 苏州 215006)

两个带电体之间的静电相互作用问题是大学物理和高中物理的重要内容，也是高考和竞赛中考查的热点，本文对两个均匀带电半球壳之间的静电相互作用问题进行了讨论．

【题目】如图1所示，两个均匀带电半球壳A，B的半径为R，总带电荷量为Q，两半球壳紧密接触在一起，求A，B之间的静电相互作用力？

图1 题图

1 问题分析

如图2所示，取右半球壳B为研究对象，求A，B之间的静电相互作用力即要求左半球壳A对右半球壳B的静电作用力．

图2 半球壳A，B分别取面电荷元

式中r的方向从面电荷元σdS1指向面电荷元σdS2，根据叠加原理，作用于面电荷元σdS2的总静电力等于半球壳A上所有电荷元作用于该面电荷元的静电力的矢量和，所以半球壳A上所有电荷对面电荷元σdS2的静电作用力为

因此半球壳A对半球壳B的静电作用力为

式中SA和SB分别为半球壳A和B的面积．但上述双重面积分比较复杂，很难得到解析结果，下面我们作进一步分析．

如图3所示，在半球壳B上取面电荷元σdS，设半球壳A上的所有电荷在面电荷元σdS处产生的电场为EA，半球壳B上除面电荷元σdS外的所有电荷在面电荷元σdS处产生的电场为EB．

图3 半球壳B上取面电荷元

半球壳A对面电荷元σdS的静电作用力为

dF=σEAdS

均匀带电半球壳A对B的作用力为

(1)

这便是我们所要求的问题．

半球壳B上除面电荷元σdS外，其他所有电荷对面电荷元σdS的静电作用力为

dF′=σEBdS

组成均匀带电半球壳B的各面电荷元之间总的静电相互作用力为

由于组成均匀带电半球壳B的各面电荷元之间静电相互作用力总是成对出现的，因而相互抵消，因此有

式(1)也可以写为

(2)

其中E=EA+EB，即为除面电荷元σdS外半球壳A,B上其他所有电荷在面电荷元σdS处产生的电场强度．

设面电荷元σdS在其附近产生的电场为E0，因此E+E0即为均匀带电整个球壳在面电荷元σdS处的电场强度．由均匀带电球壳的电场分布可知，在球壳外表面附近有

(3)

式中er为球心指向面电荷元σdS的单位矢．

在球壳内表面附近有

E+E0=0

(4)

考虑到面电荷元σdS在球壳内外表面产生的电场方向相反，由式(3)、(4)可得

(5)

将式(5)代入式(2)即为所求结果．

2 问题的求解

解法1：如图4所示，取球坐标系，使z轴与半球壳A，B的接触面垂直，由对称性可知，A对B的作用力沿z轴方向.

图4 取球坐标系

由式(2)得

又

dS=R2sinθdθdφ

所以有

解法2：用类比法求解．

由对称性可知，半球壳B的任意面电荷元所受静电力大小相等，因此可以将半球壳所受静电力类比成半球壳在均匀气体中气体对半球壳面的作用力．

如图5所示，气体压强为p，有底封闭半球壳在均匀气体中所受的合力为零，其底面受到气体的作用力大小为

F′=pS=pπR2

所以气体对球壳面的作用力大小也为

F=F′=pπR2

(6)

图5 球壳在气体中受力

类似地，均匀带电球壳A对B的作用力也可以通过式(6)来进行计算．任意面电荷元受到的电场力对其产生的压强为

(7)

将式(7)代入式(6)可得两均匀带电半球壳之间的静电相互作用力为

与解法1结果一致．本解法学生更容易理解．

参 考 文 献

1 梁绍荣,刘昌年,盛正华主编. 电磁学(第3版).北京：高等教育出版社，2005

2 第八届全国三年制高中理科试验班招生统一考试物理试题及解答．物理教学，2003(6)：25