“电势能”表达式的教学研究

陈清梅

(北京中医药大学中药学院数理系 北京 100029)

1 “电势能”教学的困惑

人教版物理教材在“电势能和电势”一节中，首先研究了静电力做功的特点.教材模仿重力势能的研究思路，以静电力做功为切入点，定量分析了静电力做功的特点，并通过渗透微元法说明静电力做功的特点.教材分三步展开讨论.

首先，教材研究电荷q沿直线从A移往B的过程中静电力做的功.在这一过程中，电荷q受到的静电力F=qE，静电力F与位移AB的夹角始终为θ，静电力对q做的功为WAB=qE|AB|cosθ=qE|AM|，如图1(a)所示.其次，研究电荷q沿折线AMB从A移往B的过程中静电力做的功.在线段AM段上，静电力对q所做的功为W1=qE|AM|，在线段MB段上，由于移动方向跟静电力垂直，静电力不做功，W2=0.因此，整个过程中静电力做的功为WAB=W1+W2=qE|AM|，如图1(a)所示.

图1 静电力做功分析

最后，研究电荷q从A沿任意曲线ANB移往B的过程中静电力做的功.用无数组跟静电力垂直和平行的折线来逼近曲线ANB，当q的移动方向与静电力平行时静电力做功，当q的移动方向与静电力垂直时则不做功.由于与静电力平行的短折线的长度之和等于|AM|(图中未画)，因此，静电力所做的功为WAB=qE|AM|，如图1(b)所示.

综上所述，教材得出结论：“在匀强电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与电荷经过的路径无关”，并将此结论推广至非匀强电场.分析可知，教材采用“特殊”——“一般”——“普遍”的研究思路对静电力的做功特点展开讨论，最终得到了静电力做功的表达式WAB=qE|AM|.

在此基础上，教材进一步讨论了电势能的定义.“正是由于移动物体时重力做的功与路径无关，同一物体在地面附近的同一位置才具有确定的重力势能，从而也使重力势能的概念具有实际的意义.同样的，由于移动电荷时静电力做的功与移动的路径无关，电荷在电场中也具有势能，这种势能叫做电势能，可用Ep表示.并得到推论“静电力做的功等于电势能的减少量”，表示为WAB=EpA-EpB[1].

不难发现，教材在推导电势能的过程中得出了两个表达式，分别是WAB=qE|AM|和WAB=EpA-EpB，前者是静电力做功的表达式，是对静电力做功的描述，而后者是静电力做功与电势能变化的表达式，即功能关系，但教材却没有给出电势能的表达式.

2 “电势能”定义式的建立

如何更好地运用“对称性”思想推导出电势能的定义式？可以由“特殊”——“一般”——“普遍”的研究思路中的“普遍”情况入手，对表达式进行抽丝剥茧的解读.

如图2所示，水平地面上方有一竖直向下的匀强电场E，电荷q沿曲线从A移往B，研究静电力做功并推导电势能的表达式.

图2 静电力做功推导电势能的表达式

设A点距地面的高度为LA，B点距地面的高度为LB，A，B两点之间的竖直距离为L，在电荷由A运动到B的过程中，静电力做的功

WAB=FL=qEL=qELA-qELB

以数学表达式L=LA-LB为切入点进行研究.L是真实发生的，是电荷沿电场方向运动的位移，而表达式右边的LA和LB并不是电荷运动过程中真实发生的位移，LA和LB均是假设发生的.根据这一思路，在qEL=qELA-qELB等式中，左边的qEL是静电力做的功，是真实发生的，而等式右边并非真实发生的过程，但它的差值在数值上等于静电力做的功，在量纲上又与功的量纲一致，因此，qEL=qELA-qELB不仅仅是数学上的等式，更是一个物理等式.进一步分析可知，qELA-qELB并非静电力真实做的功，而是静电力虚拟的功，它具有潜在的做功本领.因此，可以将它看做是一种能量.由于这种能量是由电场力产生的，所以将其定义为电势能，即

Ep=FL=qEL

这样的推导方式不仅具有普适性，而且简单、明了.从数学表达式到物理表达式，从真实做功到虚拟做功，都很好地关顾到了高中学生的认知水平.尤其值得称道的是，通过给出电势能的表达式，也使得电势能与重力势能在表达式上达到了统一.比如，重力势能Ep=mgh主要与m,g,h这3个量有关，m与物体本身的性质相关，g与重力场的性质相关，h与重力作用下物体的实际位移相关.电势能Ep=qEL主要与q,E,L这3个量有关，q与电荷本身的性质相关，E与电场的性质相关，L与静电力作用下电荷的实际位移相关.显然，两者在形式及意义上达到了高度一致，也从侧面反映出重力场与静电场的相似性.

3 反思与启示

3.1 物理概念教学要彰显逻辑内涵

对于物理概念与物理规律教学，严密的逻辑性一直是教学的重点，先讲什么，再讲什么，应当有一定的依据.而依据就是要求既要保证知识的科学性，也要结合学生的认知水平.在电势能教学过程中，得到了静电力做功的两个表达式，分别是WAB=qE|AM|和WAB=EpA-EpB.这两个式子主要描述了“功到功”“功到能”的关系，但是对于“能到能”的关系却没有给出，而这恰恰是电势能定义式的核心.因此，只有给出电势能的表达式，才能在学生头脑中建立起完整的电势能知识框架，从而更好地理解重力势能与电势能 “对称性”内涵.

3.2 物理概念教学要注重物理本质诠释

物理概念教学既要保证严密的逻辑性，又要注重对物理本质的诠释.电势能虽然不是学生接触的第一个势能的实例，但却比重力势能更抽象、更难懂.对于电势能而言，静电力做功qEL不难理解，难的是qELA-qELB物理本质的诠释.因此，就有必要对LA,LB,qELA,qELB的物理意义进行深入地分析.从数学表达式L=LA-LB看，L是真实发生的位移，LA,LB均是假设发生的位移.从物理表达式qEL=qELA-qELB的角度看，却大有文章可做.qELA-qELB并非真实做的功，而是虚拟的功，具有潜在的做功本领.所以，qEL可以被看作是一种能量.显而易见，只有从数学到物理、从虚拟到真实，才能真正诠释电势能概念的物理本质.