用常数变易法求解非齐次线性偏微分方程

康宁　赵俊芳　廉海荣

以有界弦振动模型为例，介绍常数变易法求解非齐次线性偏微分方程定解问题的形式解。首先利用分离变量法求出对应齐次边值问题的解， 然后实施常数变易法得到结论， 此方法可推广到其它非齐次模型中。

1前言

在《数学物理方程与特殊函数》中，作者将弦的振动分解为由外力引起的弦振动和由初始位移引起的弦振动，分别用分离变量法和特征函數法求解，再进行叠加。在吴崇试编撰的《数学物理方法》中也采用了此方法。在梁昆淼编撰的《数学物理方法》中，作者用冲量定理法，将持续作用力引起的振动看作“瞬时”力引起的振动叠加。当非齐次项特殊时，也可采用特殊方法。

常数变易法是求解非齐次线性常微分方程中介绍的一种技巧方法。例如考虑非齐次方程 ，其对应齐次方程通解为： ，常数变易法就是将通解中C变换为函数， 代入原方程确定出待定函数 。

本文将利用常数变易法求解非齐次线性偏微分方程。 据作者所知，用这种方法研究偏微分方程尚未出现（[1]，[2]，[3]，[6]）。

2主要内容

2.1有界弦的自由振动（忽略初始条件）

其中， 为非负常数且 。若取 ，则（2）为第一类边界条件；若取 ，则（2）为第二类边界条件；其他情况，则（2）为第三类边界条件。

下面将采用变量分离法求（1）-（2）的形式解。

令 代入（1）-（2）将得到一个线性特征值问题，

（3）

和一个二阶常微分方程，

（4）

对于特征值问题（3），由姜礼尚等编撰的《数学物理方程讲义》中定理4.1（P67）， 有

（i）. （3）的所有特征值组成一个单调递增以无穷远点为凝聚点的序列：

（ii）. 不同特征值对应的特征函数正交，即 与此同时，（4）有解，

（5）

故（1）-（2）有形式解，

其中 由初始条件确定。

2.2有界弦的强迫振动模型

考虑外力密度函数为 的有界弦的强迫振动方程为，

（6）

边界条件为（2）， 初始条件为，

（7）

（2），（6），（7）构成强迫振动模型。

为了求解上述方程，先用变量分离法求齐次方程（1）-（2）的解为，

然后做常数变易，注意到特征值受边界条件的限制，故 ， 变易为t的函数，记

即有界弦的强迫振动模型的解形如，

（8）

将（8）代入（6）和（7），得，

其中， 是 关于 的傅里叶系数。利用拉普拉斯变换法或常数变易法，求解该常微分方程得，

故（6），（2），（7）的解为，

3总结与举例

除弦振动方程外，常数变易法也可用于求解其他非齐次线性偏微分方程，如热传导方程、拉普拉斯方程和泊松方程等。

例1 固定的有界弦强迫振动模型

（9）

解： 利用变量分离法求在对应齐次方程在第一类边界（9）下的解，得特征值问题，

求解特征值为 ，特征函数为 。利用常数变易法，设原模型有解形如 。代入得到常微分方程初值问题， 求解得，

故固定的有界弦强迫振动模型的形式解为：

例2. 热传导模型

解： 利用变量分离法求在对应齐次方程在混合边界下的解，得特征值问题（11）

和二阶常微分方程

求解特征值问题（11）的特征值为 ，特征函数为 。利用常数变易法，设原模型有解形如

。

代入得到常微分方程初值问题， 得，

（作者单位：中国地质大学（北京）数理学院）