一道含参零点问题课堂教学展示与拓展

段伟军

甘肃省通渭县第二中学 (743300)

函数零点是函数单元中的重要内容,它常常与方程、不等式等知识交汇,同时，函数的零点问题是高考的热点与难点问题，全国高考理科2卷在16年、17年作为压轴题出现，该类题难度大，区分度高.虽然通过高等数学的洛比塔法则研究发现部分函数存在渐近线，但人教A版(选修2-2)只是运用瞬时变化率来定义导数，并没有涉及极限的符号，因此、部分老师在教学中用极限的思想解释问题，显然不符合教学的要求，要说明含参零点的存在性，除了研究函数的性质，还应借助于零点存在定理进行证明，即在指定的范围内选取两个自变量的值使其两个函数值异号，由于参数的加入，所选取的两个自变量与参变量有关，何种关系，何种形式不易获得.

笔者通过平时的课堂教学观察与教师的交流发现，此类题一直困扰着教师，不选取参数，解题不严谨，选取参数，无从着手，不知方向，方向不对，徒劳无功，而一些参考资料的解法过于复杂难理解，其实，这类问题是有规律可循的，只要探寻到这个规律，让含参问题不再神秘难解，笔者通过一堂课的教学展示并拓展延伸，使问题柳暗花明、水落石出.

一、问题呈现

二、课堂展示

笔者在讲解这道简单试题时引发学生的质疑，出乎意料，展示如下

学生提的有道理，只凭x>0时，g(x)>0，在(1,+∞)单调递减就判断以x轴为渐近线思维有点不严谨.函数的极限人教A版并未涉及到.

很多学生表示同感，向笔者投入期待的眼神与焦急的等待.

师：很难找，当然不能随便找，是否可以先来研究一下找这个数应该具备哪些性质？各小组讨论交流一下，我们现在的问题是讨论f(x)在区间(1,+∞)上仅有一个零点存在问题.

学生C：因为a在变化，所以找到的m不能是一个定值，应该与a有关，随着a的变化而变化.

学生D：所取的m必须在区间(1.+∞)内，而且对应的函数值必须小于a.

师：很好！证明思想很到位.同学们还有其他想法吗？

师:学生F展示了探寻过程，有道理，自然流畅，值得大家学习.

三、拓展延伸

零点区间随参数的变化而变化，则可借助于常用结论来设计自变量的取值方向，为成功使用零点存在定理奠定基础，与指数、对数函数有关的常用结论很多，现列举如下：

(1)ex>x在区间(0，+∞)内恒成立；

(2)ex≥x+1在R上恒成立；

(3)ex>x2在区间(0，+∞)内恒成立；

(6)lnx

(7)lnx

例题(2017年甘肃省第三次高考诊断测试第20题)已知函数f(x)=x(lnx-ax)(a∈R).(Ⅰ)当a=0时，求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1

x(0,12a)12a(12a,+∞)y'+0-y单调递增极大值y(12a)单调递减

随着新课改的纵横发展，研究的逐步深入，高考试题的不断推旧出新，给高中数学教学带来新的挑战与任务，教师要潜心研究设计出切实可行的操作方案，这样才能在教学中高屋建瓴，有的放矢.