线性规划问题的常见典型错误及应对策略*

王淼生 李寅童

福建省厦门第一中学 (361003)

线性规划在高中数学中占有极其重要的地位，其本质就是最优化的具体模型之一，是高考及竞赛中的重点、热点、难点，查考形式以选择题、填空题居多．随着高考考查重心从知识立意向能力立意转变，因此线性规划试题对能力要求越来越高．线性规划相关问题常常成为命题专家在截距、斜率以及距离(两点间距离与点到直线的距离)等知识网络交会处命制高质量试题的青睐区．然而，线性规划相关试题知识点多、变形技巧高、解答灵活性强、思维跨越度大，这些特点导致学生出现解答不严谨，或审题有偏差，甚至有些问题无从入手．坦率地讲，有些试题连教师都出现瑕疵，甚至束手无策．本文拟通过具体案例来剖析出现错误的原因及应对策略，不当之处，敬请批评指正．

1.因任性习惯而导致错误

案例1 若α、β是2x2+2ax+b=0两根，α∈[0，1]，β∈[1，2]，则a2+b2的最小值为 ．

图1

2 因忽视“约束”而导致错误

图2

3 因概念不清而导致错误

图3

值得指出的是：案例3还有一种典型的错解，误以为z的最大值就是直线截距的最大值．其实由变形可得y=ax+(-z)，由此可知z的最大值恰好是直线y=ax在平移过程中截距的最小值，这是学生刚刚接触线性规划最容易犯的错误．

4 因审题肤浅而导致错误

图4

错因与应对策略：案例4为某地一道模拟试题，绝大部分学生审题肤浅、理解不透而根本看不懂题意．由向量加法联想到三角形，这才是解决问题的突破口，再利用三角形最简单性质：两边之和大于第三边，构造λ与μ之间关系，从而转化为熟悉的线性规划的距离问题．

值得指出的是：请读者仔细体会上述案例1与案例4的区别．尽管都是点到直线的距离，但案例1是因为垂足点根本不在可行域而导致错误，案例4则是因为边界为虚线的原因而导致取不到最小值．

5 因不会“压缩”而导致错误

图5

本题作为当年填空题压轴题，是当年高考所有线性规划试题中一道靓丽风景线，也是近年来线性规划方面高质量命制试题的典范．然而，绝大部分学生不知所措，根本不会借助“媒介”手段：“压缩”而成为失分重灾区．一线教师不得不扪心自问：我们课堂教学是否与新课改精神吻合？我们是否在传授知识的同时更加侧重能力培养及思维品质优化？对不等式颇有造诣的安振平先生多次提到代数变形是一种重要能力，也是数学基本功底的具体体现．

6 因不善转化而导致错误

解答：由已知条件可得

错因与应对策略：高中阶段线性规划主要涉及截距、斜率及距离等三大类问题．然而，表面上案例6似乎与上述三大类问题毫无关联，学生不得不知难而退．对于线性规划问题紧紧盯住三大类型，通过转化与化归，使得问题向三大类型题靠近，这是解决问题较为有效策略．案例6说明：数学解题离不开基本题型与套路，心中没有储存必备、基本题型，在心情紧张、时间短促的考试氛围下，寸步难移，必败无疑．

7 因分类不全而导致错误

A．3B．2C．-2D．-3

图6

解答：先作出可行域，如图6所示．我们需要再作直线y=-ax，哪该如何作图呢？需要我们首先分三大类，即a<0，a=0，a>0．

(1)当a<0时，此时直线斜率为正数，此时要么过(0，0)截距最大；要么过A(1，1)处截距最大，由此得到4=0，或4=a+1，这都与条件矛盾；

(2)当a=0时，此时y=z，此时在A(1，1)处截距最大，由此得到1=4，得到矛盾；

(3)当a>0时，此时直线斜率为负数，此时又需要分为三小类：

(ⅰ)当-a>-1，即a<1时，此时过A(1，1)处截距最大，即4=a+1，得到矛盾；

(ⅱ)当-a=-1，即a=1时，此时直线x+y=2的截距本身就是最大值，即2就是最大值，这都与条件矛盾；

(ⅲ)当-a<-1，即a>1时，此时直线平移经过点B(2，0)处截距最大，由此得到4=2a，即a=2．综上所述，故选B．

错因与应对策略：客观地讲案例7不算难题，遗憾的是学生几乎都认为答案为A，其实不少课外教辅书也是如此．之所以出现上述错误，其主要原因在于手工画直线时，没有特别关注直线斜率的大小比较，即没有对a>0再细分为三小类进行讨论，也就是说直线倾斜程度成为此类错误的“罪魁祸首”．当直线斜率没有确定时，分类讨论势在必行，而且分类必须彻底．随着命题原则与理念的转变，渗透数学思想方法已经成为共识，因此线性规划问题中进行分类讨论成为常态化，有利于培养思维的严谨性与批判性．

如果说上述案例4～案例7让学生苦不堪言，那么有些线性规划试题，不要说学生，就连教师也难免出错．纵使给出答案，纵使用尽洪荒之力，绝大部分教师也是无能为力．

8 缺洪荒之力而导致错误

图7

当然，解答线性规划问题过程中出现错误的原因还有很多，囿于笔者功力浅薄，仅作抛砖引玉．笔者对三角问题常见的典型错误以及解答过程中出现的书写不规范、论证不严谨等错误整理成文，有幸发表(详见文[1]、文[2])并收到不少同行来信来电．正因教学需要、同行鼓励，笔者思索三年完成本文，渴望与文[1]、文[2]形成系列论文，同时也希望有更多同行一起来探索其它模块中常见典型错误及应对策略，比如，概率、函数、解几、向量等．

[1]王淼生．三角问题常见的典型错误及应对策略[J]．中国数学教育(高中版)，2014(12)：48-52．

[2]王淼生．预防解题中不规范与错误的策略[J]．数学教育研究，2014(3)：64-66．