数学概念教学中思维培养的探索

郭天平

江西省吉安市第一中学 (343000)

中学数学教学的主要任务之一就是发展学生的数学思维能力，以适应现代社会发展的需要.数学思维能力是指在数学的学习活动中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.学生学习新知识时，首先遇到的是概念，而要使教学能面向全体学生，概念教学这一步必须迈得更坚实.现就在数学概念教学中如何培养不同层次学生的数学思维能力，谈点探索性建议.

一、概念追溯，根源思维，扩大思维视野

概念是思维的细胞，反映事物的本质属性.它是从事物现象的特殊多样性中经过归纳，抽象概括出来的理性认识.然而，学生从课本上学习概念时，前人寻找发现的历史背景和曲折经历都被略去，学生只能被动地接受它们.这固然省时，但对学生思维能力的发展却不一定都有利，因此，我们在概念教学中应有计划、有选择地追溯某些概念形成的抽象思维过程，为学生模仿实践这个思维过程做出示范，从而逐步发展学生的根源思维能力，知其然，知其所以然，使学生学习更严谨.

例如通过引入高斯计算“1+2+3+……+100”的故事讲解，会让学生更容易接受等差数列的求和公式以及倒序相加法；通过引入杨辉三角使学生更容易理解和证明二项式定理中相应的公式；引入笛卡尔发现坐标系的故事能让学生更容易理解坐标系的概念及坐标法的思想；还有刘徽的割圆术、欧几里德《几何原本》等数学故事，让学生从数学家探索数学概念、方法的故事中掌握概念，思维视野变得更广阔了，记忆也就更深刻了；思维品质更高了，学数学的兴趣也就更浓了.

二、纵向联系，逻辑思维，增加思维深度

人们对概念的认识和掌握不可能一次完成，只有当这种活动有意识地反复多次，拓展思考，逐一加深，才能更好地把握概念的本质，同时各层次的学生在这一思维过程中，各尽所思，各有所得.

例如在“对数函数”内容学习时，因“指数函数”与“反函数”这两块知识是“对数函数”的两大支柱，可安排下列问题供学生思考：

1.利用指数公式推导对数公式.

2.利用指数函数的性质推导对数函数性质.

3.在同一直角坐标系下，利用指数函数图像画对数函数图像，并判定当a>1与0

4.求函数f(x)=ax+1(a>0且a≠1)的反函数并画出图像.

5.设函数f(x)=|logax|，存在实数m,n(m≠n)使得f(m)=f(n)，求m,n的关系.

学生通过对前三个问题的思考，大都能达到基本要求.而后两个问题的设置，为思维能力强的学生继续研究和强化对反函数的认识，提供了驰骋的场所和机会.对这一概念的认识就在这一序列的递级的思维过程中深化，不同层次的学生的思维深度也各自都得到相应的增加.实践证明要培养每个学生独立深入研究的习惯，提高各层次学生逻辑思维的能力，教师就要设计有递级的问题来训练，实行因材施教.

三、横向联系，发散思维，扩大思维广度

学生解数学题时，思维受阻的常见原因是知识上的缺陷和思维单一、狭窄，对条件理解不充分，一碰“壁”，便不知所措.如果是学生知识上的缺陷，则可以通过学习来弥补；如果思维能力不强，教师则要有意识地去培养和训练，发展他们的思维能力.

客观事物都是通过自身的内在规律性而普遍联系的，不可分割的.因此，在数学概念教学中就要强化概念之间的各种联系，特别是横向联系，这样就能促进各层次学生在学习概念和解决问题中，思维发散，多渠道寻找方法，达到灵活通畅的目的.培养他们发散思维能力的方法主要有以下三种：

1.类比

相似是客观事物的普遍现象，常见的相似现象既有规律、原理、方法的相似，也有形状、结构、外观的相似，还有原因、结果的相似等.我们可以凭借事物的广泛相似性来训练学生知识类比的能力.数学中的许多概念有类似的地方，在新概念的提出过程中，运用类比的方法，将它与其相近的旧概念进行类比，有利于学生从旧概念的理解迁移到对新概念的认识，同时也有利于学生形成概念间承上启下的思维链，从而形成数学概念的有机统一.

例如数学四种命题的关系由下表给出，学生在学习时较容易掌握它们间的关系，而在复习反函数的概念时，思维层次低的学困生在理解和运用上还会遇到一定的困难，但如果我们把这四种命题关系的图表结构类比于函数与反函数，可得如下表：

这样，这些学生对以上涉及到的四种不同形式的函数关系一目了然，对反函数概念的认识也得到了升华，更易记难忘，运用自如.

在新旧概念的类比过程中，既要体会它们之间的“相似性”，也要仔细甄别它们之间的“相异性”，这样可以增强学生对新概念的认识，防止新旧概念间的混淆，也有助于对新概念的记忆.例如：在学习“指数函数”的概念及图像、性质时，与“幂函数”的概念及图像性质进行相异性对比；又如将“等比数列”与“等差数列”认知中知识的形成过程类比；将“空间向量”与“平面向量”进行维度延伸后向量运算和相关定理类比.

类比可使问题形象具体，即使思维层次低的学困生，也能掌握这种思维方法，通过类比的思维训练能提高他们对概念的掌握，克服他们那种对思维能力发展的高深莫测、自卑畏难的情绪，拉近他们与其他同学思维的距离，从而得到同步提高.

2.逆向思维

任何事物都存在着正反两个方面，一个问题的解决，从正面“强攻”不成，就从它的反面去研究，不妨改为逆向思维，反证法就是数学中常用的逆向思维方法.若能巧妙地运用逆向思维即可使思维活跃、广泛.如本人在讲授“空间图形的公理”一节中，学完公理2，让学生完成书中“思考交流”几个问题后，进一步提出问题：判断命题“不共面的四点中，其中任意三点不共线”的真假性.学生发言积极，说理不一，但当有同学回答：这个说法是对的，因为若存在三点共线，则此线和另外一点共面，与题意矛盾，此时有疑虑的同学也豁然清晰，感觉与优秀同学达到了思维共鸣，因而增强了学生学习的成就感.

数学概念总是与定义、定理、公理等息息相关.概念的定义有两个作用，既是概念的判定定理，也是概念的性质定理.例如，“直线与平面垂直”定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线垂直，则这条直线与平面垂直.它既可以作为“直线与平面垂直”的一种判定方法，也可以作为“直线与平面垂直”的一条性质.在概念的教学中要紧扣概念的这种双重作用，使各层次学生都有思维的基础，逐渐养成学生正反研究问题的习惯.思维层次低的学困生的最大弱点是不善于设问质疑，因此这种思维方式能较好的帮助他们掌握概念，同时也是所有学生都易于接受的一种思维方式.

3.多角度思维

正确把握数学概念，是正确解题的前提，通过解题，对概念的知识又得到了深化.然而不同层次的学生解题，思路有时也是不同的，因此，教师应结合学生的实际情况，精心设计一些含有一题多解的典型习题，由教师启发点拨，学生主动思考.如正弦定理的证明：

图1

证法3：(等高法)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况

学生的常规思路是用证法1、2、3，这时学生的积极性已充分调动起来，尔后教师不必过多启发，要适时点拨，引导学生的思维向更广、更高的层次发展.

证法4：利用向量证明.

证法5：利用解析几何(坐标法)证明.

通过证法4、5将角与向量坐标联系起来，概念间大跨度的横向联系，从而使学生的思维进入纵横驰骋的自由王国，解题时得心应手，水到渠成.

教师要让学生努力摆脱定势思维的缰绳，引导学生求异思考，进入创新思维，多角度地发散思维，在认为不太可能的事中挖掘一线可能的希望，集中突破.这样，才能对学生思维能力的发展大有裨益.

数学概念教学是教学过程的核心环节，也是学生知识结构和认知结构的核心环节.因此数学概念的教学过程中，教师为发展学生的思维能力而精心设计好的“知识生长过程”和“结论的发生过程”，会让学生不仅更容易弄清概念的内涵和外延，而且更容易明白概念与概念之间的区别和联系，使得学生的记忆更有序，理解更深刻.同时教师在概念教学中创造性地使用教材，会让学生在课堂上更兴奋，思维锐气更足.教师长期坚持这种以提高学生思维发展为核心的教学方式，能使教师自身的思维水平上一个台阶，从而站在更高的思维领地引领好学生思维.更能为原来对数学兴趣不浓的学生开启一盏思维明灯，提高其学习的主动性，增强其学习的信心；而原本对数学感兴趣的学生会更加热爱数学，钻研精神更足.

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