例析向量在解析几何解题中的应用*

张媛媛 郭建华

江苏省南京市第二十九中学 (210036)

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角的一种工具.关注向量，不仅让学生掌握一种新的数学工具，而且还可以帮助学生体会数学的内部联系，以及借助于向量的相关知识解决一些问题.特别是解析几何题，由于自身的特点与向量联系特别密切，试题中也经常用向量的形式呈现一些数量关系和描述图形特征，无形中为题意的理解带来障碍，如何才能扫清这些障碍，只有更多的关注向量意识和不断总结用向量解题的方法以及其解决问题的模式化方法，才能真正突出向量的工具性，实现化解解析几何的危机，并让它成为解决解析几何问题成为一大亮点.更重要的是要不断反思和比较，寻求更简洁和合理的运算途径，掌向坐标意识和基底意识在求解向量问题中的应用技巧，现举例如下，以期达到举一反三的效果.

图1

思路分析1:平面向量遇见解析几何，数形结合利用直线与圆的位置关系、向量的线性运算法则与解三角形等知识，由题意可得矩形PMQN中，对角线PQ的长在PMQN为正方形时达到最小值.

思路分析2:平面向量遇见解析几何，数形结合利用直线与圆的位置关系求解出M点的坐标,再由两点间距离公式求得PM的长度.

思路分析3:平面向量遇见解析几何，数形结合利用圆的几何性质求出弦MN中点T的轨迹方程，OT最大即弦心距最大时，弦长MN最小.

图2

思路分析1:平面向量遇见平面几何三角形，可以先根据条件得到RtΔABC特征，然后再考虑利用三点共线条件建立x,y之间关系找到基本不等式，转化为λ的二次函数求解.

思路分析2:平面向量遇见平面几何三角形，可以先根据条件得到RtΔABC特征，然后再考虑利用三点共线的推论求解出x,y关系再用基本不等式求解.

点评:求解平面向量的有关问题，通常有两种处理方法：一是通过建立直角坐标系，转化为向量的坐标运算来加以解决；二是选择两个不共线的向量作为基底，通过将所有的向量转化为基底的方法来加以处理.一般情况下，运用向量的坐标运算时可操作性强，而运用向量的基底时对思维的要求较高.平面向量遇见几何问题，往往需要数形结合通过几何性质运用解析几何知识求解效果甚佳.

高三习题的讲和评，不仅让学生获得具体问题的解法，而且让他们体验数学思想方法，加强学生对知识和解题方法的掌握[1].让学生从解题中学会思考，让学生在解题中落实数学核心素养，通过教师的精心设计和讲评从而使学生的解题达到举一反三的效果.

[1]郭建华.为学生创造“微探究”的机会[J]．中学教研(数学)，2017(7)：7-10．