一道高考数列试题引发的研究性学习*

崔静静 赵思林

四川师范大学数学与软件科学学院 (6100682) 四川内江师范学院数学与信息科学学院 (641112)

递推数列是刻画递推关系的数学模型，是研究离散型变量问题的重要工具，也是分形几何的基础．因此，美国的SATⅡ数学高考[1]、日本的数学高考几乎每年都有涉及递推数列的考题．数列求和方法是研究数列的核心知识，对学习大学里的《级数理论》尤其重要．高考数学全国卷比较重视对递推数列和数列求和的考查．2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第17题是一道数列试题，该题能够激活数学思维、具有探究价值，是一道研究性学习的好问题．本文拟从试题的解题思路分析与探究、题干的递推关系的引申和第(2)问的推广等角度对这个题目做一番探究．

1.试题介绍

2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第17题：

设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n．

(1)求{an}的通项公式；

2.试题的思路分析与探究

对于初次接触本题递推关系的考生来说，经历“观察——试算——归纳——猜想——证明——结论”过程，不难发现解题思路(结论)．事实上，

对于熟悉这类递推关系的考生来说，运用方程思想容易直接获解．

由a1+3a2+…+(2n-1)an=2n，知a1+3a2+…+(2n-1)an+(2n+1)an+1=2(n+1)．

3.试题的引申与推广

引申与推广是研究数学的重要方法．引申与推广都可以将问题一般化，从而实现从“一个题”到“一类题”的跨越．引申与推广可以培养学生的问题意识、探究意识和创新意识．下面对题干的递推关系作一些引申，并对第(2)问进行推广．

观察和分析题干的递推关系，可作如下引申．

评注：引申1对原题中递推关系a1+3a2+…+(2n-1)an=2n右边的数据作了改动，这时就需要分类讨论了，显然就比原题更难了．由于本题是解答题中的第1题，命题者为了控制难度，题目中设计的数据比较特殊，考生解答题目时不必考虑分类讨论．

引申2 设a1+3a2+…+(2n-1)an=f(n)，求an．

2.1.4 对疾病认识不足 患者不良心理反应的严重程度与病情轻重并不一定成正相关，这主要与患者对疾病的认识有关［5］。杨凤鸣［14］对150例 ICU 患者研究显示，60例危重症患者由于对突发的病情缺乏心理准备，认为自己病情严重会危及生命，产生十分明显的恐惧感和威胁感。

引申3 设g(n)≠0(n∈N+)，g(1)a1+g(2)a2+…+g(n)an=f(n)，求an．

当an≠0时，有时也把an放在分母上，见引申4，看上去就会复杂一些．

引申4的解法与引申3的解法完全相仿，此处从略．

对高考试题的研究性学习，通常包括对问题结构的观察与比较，对解题思路的分析与探究，对数学问题(命题)的引申与推广，对数学方法的尝试与优化等过程．

[1][美]库(RichardKu)，[美]道奇(HowardP.Dodge)．BARRON’SSATⅡ数学(第9版)[M].北京：世界图书出版公司北京分公司，2011：153-160.