网络梳理知识体系 变换提升复习效益—全等三角形章节复习策略

福建省宁德市第十中学(352100) 彭光清

章节复习课的主要任务是知识系统化,提高解决问题的能力.全等三角形复习课基本由两大环节构成:(1)系统梳理,理清全等三角形知识脉络;(2)能力提升,提高学生综合运用全等三角形解决问题的能力.

1.搭建恰当的“脚手架”理清知识脉络

全等三角形是在学生已学过了线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识之后来学习.全等三角形是研究图形的重要工具,通过学习帮助学生从分析视角把握基本图形.本章复习课,就是要通过复习理清知识脉络,进一步理解全等三角形性质、判定和运用,熟练掌握几何证明的基本程序.

如何更好地完成知识梳理与体系构建,我们来看以下的两则案例.

案例1

问题1请同学们回答下列问题:

(1)什么叫全等三角形?全等三角形有什么性质?

(2)判定两个三角形全等有哪些方法?两个直角三角形全等的条件是什么?

(3)角平分线的性质和判定是什么?怎么证明角平分线的性质和判定定理?

(4)你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗?

评析通过问题串,对所学的知识进行系统整理.为下一步建立本章的知识结构体系做好铺垫.关注图形语言或符号语言的描述,体会文字语言与数学符号语言的互化,应该抓住本章复习要点.但案例1通过直接的问题串让学生回忆并复述出这些知识,实践证明这种知识回顾方法的效果很差.

问题2请同学们整理一下本章所学的主要知识,画出知识结构图.

师生活动:教师组织学生画出本章知识结构图,分小组进行交流.然后,师生共同完善本章的知识结构.明确本章主要是研究全等三角形的性质、判定,利用全等三角形解决问题.

评析通过构建结构图,对所学的知识进行系统整理,有助于学生理解本章知识间的联系,使之“竖成线”、“横成片”,达到提纲挈领的目的.

反思在数学复习课中,回顾整理知识是复习的起点.学生已掌握一些简单的概念和单一的解题技巧等松散的点状知识,但不具备独立整理知识的能力.教师需要搭建“脚手架”支持,唤起他们对已学过松散知识的记忆,帮助其进行梳理和系统化.

支撑学生回顾松散知识的脚手架如何设计,我们来看以下案例.

案例2

师:我们知道,全等三角形是研究几何性质的重要工具.温故知新,先看一个问题.

问题1如图1,D,E分别在线段AB,AC上,BE,CD相交于O,AD=AE,要使△ABE△ACD,可以添加一个条件是___.并给予证明.

图1

生1:可以添加AB=AC.利用“SAS”可以证明△ABE△ACD.

师:很好,还有没有其它不同方法?

生2:可以添加∠B=∠C.利用“AAS”可以证明△ABE△ACD.

生3(抢着举手):可以添加∠AEB=∠ADC.利用“ASA”可以证明△ABE△ACD.

生 4:可以添加DC=BE.可以证明△ABE△ACD.

师(反问):添加DC=BE,证明△ABE△ACD的理由是什么?

生4迟疑

生5:我认为添加DC=BE,不能证明△ABE△ACD.因为“SSA”不能判定两个三角形全等.

师(追问):哪就没有其它方法了吗?

生5:我认为添加DO=OE,也能证明△ABE△ACD.理由如下:如图2,连接AO,根据“SSS”先证△AOE△AOD,得到∠AEB=∠ADC,再利用“ASA”可以证明△ABE△ACD.

图2

师:非常棒!(大家给予掌声鼓励)

生 6:我想添加BO=OC,也能证明△ABE△ACD.可我没有想出为什么.

师(思考片刻):添加BO=OC的确可以证明△ABE△ACD,但根据目前我们所学的知识还无法予以证明.有兴趣的同学课后再去研究.下面,我们对全等三角形相关知识进行一番回顾(师生一起回顾,总结全等三角形有关内容).

问题2请尝试回答以下问题.

(1)全等三角形的概念?

(2)全等三角形的性质有那些?

(3)判定两个三角形全等的方法有那些?

(4)角平分线的性质定理是什么?

(5)如果用运动的观点看,全等三角形可以由那些变换产生?

(学生回答略)

评析全等三角形这章的知识点虽然不多,但系统性较强,案例2教师用开放性“问题1”激活学生对相关旧知识回顾,通过问题解决的多样性给学生概括知识、建构知识体系提供足够的条件支撑.复习课采用这种方式回顾知识,能够让学生在问题解决中,亲身经历知识梳理建构过程,收到良好的教学效果.

反思案例2搭建的“脚手架”通过解决问题引导学生高效地对全等三角形四种判定方法进行知识梳理,形成了良好的知识网络.探索时也有效地培养了学生思维的灵活性和缜密性.在知识结构的呈现方面,案例1框图式的呈现方式可以比较好的体现知识之间的关系,如果再将具体条件、拓展问题等添加在结构图中,就形成更为详细的结构框图.

2.渗透变换思想提高学生分析问题能力

新课程“图形与几何”反映现代数学观点,认为有关图形的性质,诸如平行、垂直、全等、相似,在几何变换(指反射、平移、旋转、位似等)下能保持不变.因此,复习过程着重引导学生运用平移、旋转、对折变换总结全等三角形解题套路.

案例3

问题1已知:如图3,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O点,∠1=∠2,图中全等的三角形共有多少对?请选择一对进行证明.

图3

师:图中共有多少对全等三角形?看看谁能找得最快.

生1:图中共3对全等三角形.分别是△ADO△AEO,△BOD△COE,△ADC△AEB.

生2:还有1对,是△AOB△AOC.

师:共有4对三角形全等.你们是怎样判定他们全等的呢?请你选择一对进行证明.

(板 书:△ADO△AEO,△BOD△COE,△ADC△AEB,△AOB△AOC)

生1:我认为,这个图形是轴对称图形,沿着AO所在直线对折,左右两边的三角形能够重叠,所以它们是全等三角形.我选择证明△ADO△AEO.因为CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠ADO=∠AEO=90°;因为∠1=∠2,AO=AO,所以△ADO△AEO(AAS).

师:对,通过对折变换可以得到全等三角形.生1是直接根据题目给定的条件,证明△ADO～=△AEO.那么,其他全等三角形如何证明?

生3:我选择证明△ADC△AEB.和生1一样,先用“AAS”证明△ADO△AEO.所以AD=AE,因为∠DAC=∠EAB,∠ADO=∠AEO,所以△ADC△AEB(ASA).

生4:我选择证明△BOD△COE.和生1一样,先用“AAS”证明△ADO△AEO.所以OD=OE,因为∠BDO=∠CEO,∠BOD=∠COE,所以△BOD△COE(ASA).

师:好,刚才两位同学都是根据全等三角形性质,获得证明所需的条件,再证明三角形全等.就是要两次全等才能解决问题.

生5:我也是选择证明△BOD△COE,但不用两次全等也可以证明.

师:好,你把证明方法告诉大家.

生5:因为∠1=∠2,OD⊥AB,OE⊥AC,所以OD=OE,因为∠BDO=∠CEO,∠BOD=∠COE,所以△BOD△COE(ASA).

师:根据角平分线性质另辟蹊径,值得肯定.

生 6:我选择证明△AOB△AOC.由△ADC△AEB.所以AB=AC,因为∠1=∠2,AO=AO,所以△AOB△AOC(SAS).

师:通过上面证明两个三角形全等,大家掌握了如何证明三角形全等了吗?

师(归纳板书结构图):证明两个三角形的全等,通过对问题的分析,根据给定的条件(或隐含条件),可以按以下思路进行分析.

评析开放性问题,训练学生灵活运用三角形全等判定定理与性质定理的能力,也兼顾了不同层次学生的能力.小结教给了学生证明三角形全等的思路.

案例3续

问题5如图4-(1),一张矩形纸片沿着对角线剪开,得到如图4-(2)两张三角形纸片ABC、DEF,再将这两张三角形纸片摆成如图4-(3)的形式,使点B、F、C、D处在同一条直线上,P、M、N为其他直线的交点.

(1)求证:AB⊥ED.

(2)若PB=BC,请找出图(3)中全等三角形,并给予证明.

图4

(用多媒体演示图形的变化过程,问题随教学过程逐步呈现.)

师:图4-(3)中AB与ED有怎样的位置关系?同学生猜想一下结果.

生7:AB⊥ED.

师:为什么?可以从哪方面来考虑?

生8:可以将图4-(3)中△ABC看做是图4-(2)中△ABC,绕着某一点旋转90°得到.所以AB⊥ED.

生9:可以从全等进行考虑.在已知条件下,显然有△ABC△DEF,故∠A=∠D,又∠ANP=∠DNC,所以,∠APN=∠DCN=90°,即AB⊥ED.

师:若PB=BC,找出图4-(3)中全等三角形.

生10:△PBD△CBA(ASA).

师:由AB⊥ED,可得到∠BPD=90°,∠BPD=∠CBA,∠A=∠D,PB=BC, 故有△PBD△CBA(ASA).

师:还有其他三角形全等吗?

生11:有,我连接BN,由勾股定理得PN=CN,就不难得到△APN△DCN.

评析复杂图形的识图是学生的难点.能在复杂图形中分离出目标子图形,是构建证明思路的关键.展示复杂图形的形成过程,是训练学生识图能力的主要手段之一.题目以矩形裁剪两个全等三角形为背景,通过平移、旋转等图形变化,让学生在复杂的图形中寻找全等三角形,培养学生空间观念和推理论证能力.开放的形式,既复习巩固全等三角形性质与判定定理,又提高运用全等三角形解决问题能力.

反思运用开放性问题,能够集中学生注意力、引发学生的学习思考,诱导学生积极主动地探索知识.在图形变换下探究问题解决过程中,把全等三角形所涉及的内容贯穿起来,并及时总结归类,既重新复习构建基础知识网络,培养学生空间观念和推理能力,又提高学生综合运用全等三角形解决问题能力.

3.采用变式题提高学生综合运用知识能力

案例4

引例已知:在锐角△ABC中,点O是BC边的中点,OE⊥AB,交于点E,OF⊥AC交于点F.

问题1请你根据题目的描述画出符合题意的图形.

师:过一点如何画已知直线的垂线?可以用哪些工具?

生:用三角板画或尺规作图.

师:请同学们选择一种方法画出图形.

(学生独立画图,如图5)

图5

问题2在你所画的图形中是否一定存在全等的两个三角形?若存在,请写出全等的两个三角形;若不存在,请你添加恰当的条件,使得图中有全等的三角形,并说明全等判定的依据.

图6

(学生思考,教师巡视)

师:可以先直观观察,然后仔细分析,记着两三角形全等需要三个条件哦!

生1:从直观看没有三角形全等,但△BEO和△CFO有两个现成条件:∠BEO=∠CFO,OB=OC.

师(追问):还差一个条件.如何添加条件,使得图中有全等的三角形呢?

生1:添加∠B=∠C,根据AAS,就可以得到△OBE△OCF.

生2:也可以添加∠EOB=∠FOC.

生3:因为△OBE与△OCF是直角三角形,可以根据HL添加OE=OF,或BE=CF.

师:非常棒!能够充分利用已知条件和图形的特殊性,想到了这么多种添加条件的方法.

师(反问):这些办法都是直接添加条件使两个三角形全等,想想能不能添加间接的条件让两个三角形全等呢?

生4:我认为可以添加AB=AC,因为由AB=AC,可得∠B=∠C,满足AAS.

生5:我感觉添加AE=AF也可以,就是不知如何证明?

师(转问):大家帮助生5想一想,添加AE=AF可以吗?

生6:可以添加AE=AF.连接AO,先根据HL得到△AOE△AOF,于是OE=OF,接下可证.

师:(掌声鼓励)生5、6配合,添加条件运用两次全等解决问题.

生7:连接AO,∠BAO=∠CAO,利用角平分线的性质可得OE=OF,根据HL,两个三角形全等.

师(故作惊讶):你真厉害,这么隐蔽的方法都被你发现了.

生8:可以添加“△ABC是等腰三角形”.

师(转问):有不同意见吗?

生9:我认为不可以.因为AB=AC可以得出△ABC是等腰三角形,但△ABC是等腰三角形不能肯定AB=AC,也有可能是AB=BC,因此添加△ABC是等腰三角形不行.

师:分析的非常到位,给你点个“赞”.

师:谁总结一下判定两个三角形全等的方法.从上面例题学到添加条件的方法是什么?

生9:两三角形全等的判定有SSS,SAS,AAS,ASA,两个直角三角形全等还有HL.添加条件使两三角形全等,可以直接添加条件,也可以间接添加条件.但添加的条件是否可行,需要证明.

师:总结得很到位!同学们想一想,添上一个条件以后,△ABC发生了怎样的变化?

生:△ABC是一个等腰三角形,让整个图形变得“对称”.

评析问题1要求学生将文字(符号)语言转化为图形语言,加深对几何基本概念的理解,有效地培养学生空间观念.问题2在探求三角形全等的条件过程中,既梳理、巩固已学的全等三角形概念、判定与性质,又将三角形全等与特殊三角形有机的联系在一起,促进知识系统化,提高学生运用所学知识解决问题的能力.

案例4续

变式一(在复杂图形中寻找全等三角形来解决问题)若将“O是BC边的中点”改为“OB=OC”,且AB=AC,你能证明OE=OF吗?试试看.

图7

生10:如图7,可以通过证明△OBE与△OCF全等得到OE=OF.

师:△OBE与△OCF全等根据是什么?你是怎么想的?

生10:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB.所以∠OBE=∠OCF.因为OB=OC,∠OEB=∠OFC=90°,根据 AAS,所以△OBE△OCF(OE=OF).

师:真棒!叙述简练,条理清楚.利用三角形全等证明线段或角相等是我们常用的方法.

生6:连接AO,根据SSS得到△OBA△OCA,由于OE与OF是对应边上高,所以OE=OF.

师:很好,生6利用课外学到的“全等三角形对应边上高相等”证明.虽然定理现在还没有学,但思路是正确的.

师:同学们想一想,根据题意还能不能画出满足条件的其它的图形呢?

生11:题目中没有规定点O一定在△ABC内,那么还有一种情形是点O在△ABC外.

师:如果点O在△ABC外,结论成立吗?

生11:可以.

(学生动手尝试)

生12:成立.如图8,仍然可以通过证明两个三角形全等得到OE=OF.

图8

师:请你分析一下证明思路.

生 12(分析思路):···

师:解决问题时,发现O可在三角形的内部,也可能在三角形的外部.故需分类讨论.

变式二(添加辅助线,构造全等三角形来解决问题)若将“O是BC边的中点”改为“O在∠BAC的平分线上”,且AB/=AC.试探究:当点O在什么位置时,BE=CF?

生13:当OB=OC时,BE=CF.如图9,要证明BE=CF,只要△OBE△OCF即可.由“O在∠BAC的平分线上”,且OE⊥AB,OF⊥AC,我们可以得到OE=OF,故当点O满足“OB=OC”时,由HL得△OBE△OCF,所以BE=CF.

图9

师:生13分析的非常到位(掌声鼓励).这个问题实质是利用三角形全等来证明线段相等,当出现没有三角形时,要经过添加辅助线构造三角形.解决问题的关键是用好条件“O在∠BAC的平分线上”.

师(反问):点O的位置会在△ABC的边上或内部吗?画一画,想一想.

生8:△ABC的边上或内部不存在点O.因为AB/=AC,如果点O在BC上,△OBE△OCF不会全等,因此BE与CF不相等;如果点O在△ABC内,易得△AOE△AOF,所以AE=AF,因为AB/=AC,所以BE与CF不相等.

师:非常精彩的分析!

评析变式题组可使学生窥视到一类题的内在联系和区别,看到题目演变的全部过程,培养学生提出问题和解决问题的能力.教师的发展性理答,引领学生走出理解误区,促使学生对问题全面、深刻而正确的认识,给课堂带来精彩的生成,促进了学生积极参与课堂活动.

反思复习课问题的选择要符合学生的认知规律,例题要有典型性、针对性、层次性.切不可随意选题,更不能搞题海战术,要针对学生的薄弱环节、易错点及本章节的重难点进行优化设计.所选问题要能引发学生思考,通过对问题的探讨、解决,从中既能复习旧知识体系,又能体验数学思想和方法,更能促进学生遇到相关问题时就能自觉地运用有关的数学经验去思考、解决问题,达到“讲一题,明一类”.

4.教学建议

明确章节复习的目标.《全等三角形》是人教社八年级上册第12章内容,本章教材安排了全等三角形、全等三角形判定、角平分线性质等3节内容.教学中要明确章节复习课目的与形式:章节复习课的主要目的是梳理知识结构、提升数学能力.题组是实现这一目的的主要手段.题目要典型,具有针对性.以题目带知识点,以知识点归类题型,以题型挖掘解题规律和数学思想方法,达成章节复习课的目的.

精心设置问题.《全等三角形》这部分的教学要求是:①理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角.②掌握基本事实:“SAS”,“ASA”,“SSS”.③证明定理:“AAS”.④探索并掌握判定直角三角形全等的“HL”定理.⑤探索并证明角平分线的性质定理.因此,教学中问题设置要围绕所学的主要知识与典型方法,问题要适合学生的实际.问题要设计成有层次的题组,有利于引导不同层次学生思维.问题要有变式设计,引导学生掌握一类题.问题要有开放性,引导学生用多种方法解决,积累数学活动经验.

注重推理论证能力的培养.利用全等三角形证明问题,关键在于引导学生运用变换思想从复杂的图形中找到一对基础的三角形,这对基础的三角形从实质上来说,是由三角形全等判定定理中的一对三角形变换而来,也可能是由几对三角形组成,其间的关系互相传递,应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形.教学中,要精心选择全等三角形的证明问题.开始阶段的例题,证明方向明确、主要让学生体会证明思路.最后安排的问题,重点培养学生分析问题,选择推理途径的证明能力.复习过程,始终注重分析思路,让学生学会思考问题,学会清楚地表达思考的过程.

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