面向高中生数学高阶思维能力培养的问题设计*—以《数学归纳法》为例

广东省广州市东圃中学(510700) 彭红亮

1.高阶思维能力的概念

高阶思维能力的英文翻译是“High Order Thinking Skill”,通常简称HOTS.以布卢姆1956年版的认知目标分类为基础,经过泰勒等学者修改后,将新目标分类中的记忆、理解和应用称为“低级思维能力”,将分析、评价和创造称为“高阶思维能力”.

结合国内外对于高阶思维能力的研究,借鉴江梅编制的《小学中年级语文阅读高级思维能力测评指标体系》设计出高中数学高阶思维能力的测评指标体系(见表1).

表1 高中数学高阶思维能力测评指标体系

2.面向高中生高阶思维能力培养的问题设计案例分析

问题是数学学习的核心.高效的教学离不开优质的问题设计.设计问题时首先需目标明确,以达成课程标准的要求为准;其次要有利于问题情境的创设,揭示知识的生活背景,形成认知冲突;最后要符合学生的认知规律,以低阶学习为基础,逐步上升到高阶学习.

2.1 设定针对高阶思维培养的教学目标

根据布卢姆2001年版认知目标分类,教师可以反思自己的教学是处在低阶思维(知道、领会和应用层次)还是处在高阶思维层次(分析、综合和评价)?教学是否期望学习者将所学的知识应用于分析问题的情境?教学方法和学习任务是否要求学习者运用元认知和问题求解的技能?对等等诸如此类问题的反思,都有助于教师设计帮助学习者发展高阶思维能力的教学.

以《数学归纳法》为例,课程内容标准是“了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.”.学生要达到这个目标还存在一定的困难,具体体现如下:①不理解为什么要引进数学归纳法,本质原因就是不理解有限与无限之间的辩证关系;②难以理解数学归纳法第一步的作用,本质原因就是不理解有限是无限的基础,只有归纳奠基成立,才能保证一直递推下去;③难以理解数学归纳法第二步的作用,本质原因就是不理解递推思想的妙用—用有限步骤证明无限个命题的正确性,由此造成对证明中何以必须用“假设”的不理解,从而出现易错点:将“解决由P(k)到P(k+1)的传递性问题”,误解为“证明P(k+1)的真实性”.

因此,本节课设计的问题需要达到以下目标:①通过多米诺骨牌游戏理解数学归纳法的原理与实质,即运用递推思想解决有限与无限之间的矛盾,培养学生的理解能力和创造能力.②由多米诺骨牌游戏抽象概括出数学归纳法的两个基本步骤—归纳奠基和归纳假设,并了解它们之间缺一不可的关系,培养学生的创造能力.③能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的命题,体验大胆猜想、小心求证的思维过程,培养推理论证能力,培养学生的应用能力和创造能力.④引导学生课前独立自主学习,课堂小组合作学习,养成严谨善究的学习习惯,锻炼探究、分析和交流的学习能力,培养学生的分析、评价和创造能力.

2.2 创设培养高级思维的问题情境

问题既是学生探究的任务,也是学生探究的线索.课堂上要创设相应的问题情境,造成认知冲突,激发学生的求知欲和兴趣.如在引入课题前,先设计两个结论互相矛盾的问题.其中问题1(1)是关于法国数学家费马的小故事:“费马在1640年观察到220+1=3,221+1=5,222+1=17,223+1=257,224+1=65537,归纳猜想得:任何形如22n+1(n∈N)的数都是素数,这就是著名的费马猜想.差不多一个世纪以后,瑞士数学家欧拉于1732年发现:225+1=4294967297=641×6700417不是素数,从而推翻费马猜想.”然后再设计问题1(2)“由教材第71页例题1可知,数列{an},若通过对n=1,2,3,4前4项归纳,猜想请问这个猜想正确吗?请你运用数列知识说明理由.”通过思考,学生发现费马猜想和教材例题1的猜想一个正确一个不正确,从而产生认知冲突,激起了学习新课的积极性.

此时,教师可以再提出问题“请问不完全归纳法的结论正确吗?”这个问题可以引起学生的回忆,培养学生的识记能力,同时很自然地让学生反思上述两个猜想结论矛盾的原因就是“不完全归纳法结论可能正确也可能不正确”,培养了学生的分析能力.

教师可以趁热打铁,继续提出问题“遇到这种与正整数有关的问题,我们有什么办法来证明它是否可靠呢?能不能一个个去检验?”前一个问题促使学生反思自己过去是否学过有效的证明方法,当他们找不到时,会尝试思考有没有新方法去证明,培养了他们的创造能力.后一个问题给学生提供了一个思考方向,但是学生会发现这个方法是不现实的,培养了学生的评价能力.当他们再次陷入困境的时候,他们会很渴望新方法的学习.此时,教师就能够自然地引出新课.

这个过程中,层层深入的设计让学生经历知识的构建过程,体会知识中蕴含的数学思想,培养学生发现问题、提出问题的能力.

2.3 搭建适合高阶思维发展的“脚手架”

数学归纳法的原理比较抽象,因此教师要精心设计提问,为学生的思考、探究提供脚手架.首先要讲授多米诺骨牌游戏的内涵.教师可以设计问题链:①多米诺骨牌成功倒下的条件是什么?②“第1块骨牌倒下”的作用是什么?③“相邻的两块骨牌,前一块倒下导致后一块也倒下”的作用是什么?④请大家总结多米诺骨牌游戏成功的两个条件是什么?结论是什么?这几个问题让学生逐步分析多米诺骨牌成功倒下的原理,而不是凭空猜想,并且让学生在一个个问题的解决过程中理解这个游戏的本质.其中前三个问题培养学生的理解能力和分析能力,最后一个问题培养了学生的创造能力.

其次,通过类比多米诺骨牌游戏,讲授数学归纳法原理.教师可以再设计一个问题链:①请问你能用数学语言表示多米诺骨牌游戏吗?②有时我们遇到一些这样的问题,当n≥n0,n0∈N∗时结论才成立.那我们又该如何表述呢?③请归纳出数学归纳法的概念和步骤.第一个问题的目的是引导学生将游戏数学化,帮助学生贯通生活与数学之间的联系,让学生用数学的视角来分析游戏,培养学生的理解能力.学生经常以为数学归纳法都是从n=1开始证明.第二个问题就让学生意识到问题的多样性和灵活性,并且在思考的过程中培养分析能力.第三个问题让学生提炼出概念,思维升华,建构知识,培养分析能力和创造能力.

本节课的重点就是让学生会正确运用数学归纳法,教师可以设计一个问题链:①用数学归纳法证明问题1(2)中的猜想正确;②用数学归纳法证明③请用数学归纳法证明:1+2+3+···+2n=n(2n+1),n∈N∗.第一个问题仅仅是直接应用,让学生的应用的过程中理解数学归纳法,熟悉数学归纳法,培养学生的识记能力和应用能力.第二个问题由教材的例1变形而成,不仅让学生熟悉数学归纳法的应用,更让学生体验n0是命题所允许的最小正整数,而它的取值不一定为1.在这个探究过程中,培养了学生的理解、应用、创造能力.第三个问题让学生体会从n=k到n=k+1时,等式左边的项不一定只增加一项,从不同角度更高层次地培养了学生的理解、应用、创造能力.这三个问题由浅入深,后两个问题更是针对学生忽视的地方、不容易理解的地方,激发学生的思维,提升了学生的高阶思维能力.

总之,问题链可以帮助学生全面理解概念或法则的内涵,学会从不同角度分析问题,解决问题,真正提高高阶思维能力.

3.反思

有效的高阶思维能力培养模式要根据布卢姆2001版目标分类制定合理的教学目标,设计针对性的问题、任务、活动和组织形式,在低阶学习的基础上加强高阶学习,实现低阶学习到高阶学习的过渡,从而促进和提高学生的高阶思维能力.

[1][美]洛林·W·安德森.布卢姆教育目标分类学(修订版完整版)[M].北京:外语教学与研究出版社,2009.

[2]江梅.为高级思维能力而教:提升教师课程建设能力[M].广州:华南理工大学出版社,2014.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2010.