例谈三视图还原直观图的复习教学设计

广东省广州市执信中学(510080) 曾喻良

笔者长期从事高中数学教学工作,深刻地体会到学生,特别是文科生数学直观想象能力的薄弱.立体几何中的三视图问题是培养学生直观想象能力的一个很好的载体.在教学中我们发现根据学生能够容易地根据直观图画出三视图问题,这是“立体图形平面化”,难点在于根据三视图还原直观图,不会做的学生往往回答是“想不出这个立体图形是怎么样的”,会做的同学也往往是“只可意会不可言传”,似乎没有什么可以有显性化的解题经验.

我们首先分析三视图的教学与考试要求,考试大纲中要求能识别长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简单组合的三视图所表示的立体模型.结合2013-2017年新课标卷(文科)中立体几何内容的考查情况,见下表:

2013-2017年文科数学(新课标卷)立体几何知识点分布表

根据上表可以知道,三视图内容在高考中的考查方式一般为给出几何体的三视图,要求考生能想象直观图,并求出几何体的表面积、体积.或研究线、面的位置关系.其难度有逐渐增大的趋势.重点考查空间想象能力,逻辑推理能力和运算能力.

能否正确地将在视图还原成直观图是解决这类问题的关键,学生错误的根源就是直观想象直力不够.下面笔者结合自己的教学实践谈谈如何在三视图教学与备考中培养学生的直观想象能力.

一、立足基本模型,突出模型思想

立体几何模型是对空间图形的抽象概括,是凝结在学生头脑中的一系列的加工和认识对象.高中立体几何就是研究各种几何模型的学科.为此,我们首先要求学生掌握各种基本几何模型的三视图与直观图,如长方体,正方体,球等.这不仅有利于培养学生的辩图、识图和画图能力,提升复习效率,而且有助于发展学生的数学建模核心素养.

必修二的课本中,对于三视图引入,提出了长方体模型.在复习时可引导学生回归课本,借助长方体模型减轻还原直观图想象的困难.帮助学生经历从识“图”、想“图”到构“图”的过程.

二.化繁为简,渗透化归思想

作为立体几何模型的“母体”之一的长方体,由于其构造简单,能够为学生提供更加直观、完整的信息,甚至无需语言文字描述,就能让学生理解问题的实质.但是学生对于长方体模型功能认识不足,大部分解题仍靠感觉.所以在选择例题时要突出长方体模型功能,兼顾常见空间几何体、组合体,以及不同的摆放角度.笔者从柱体、锥体、组合体、旋转体的各个方面自编了五组例题,利用长方体模型还原成对应直观图.

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例1请根据图1,图2的三视图画出直观图.

图1

图2

旨在突出在三视图中虚实线的处理.

例2请根据图3,图4的三视图画出直观图.

图3

图4

旨在呈现,虽然三视图中没有长方形外框,但仍可以以长方体为模型,还原直观图.

例3请根据图5,图6的三视图画出直观图.

图5

图6

例3在例2的基础上增加了虚实线变化.引导学生形成先以长方体为模型,根据三视图去掉多余的长方体顶点,再分析虚实线的思考步骤.

例4请根据图7,图8,图9的三视图画出直观图.

图7

图8

图9

旨在突出,当几何体的顶点不全在长方体顶点时,亦可通过长方体模型先去掉不可能的顶点,再利用长方体的棱或面增加相应顶点,最后根据虚实线,还原几何体.

例5请根据图10,图11,图12的三视图画出直观图.

图10

图11

图12

引导学生思考与旋转体有关的三视图还原直观图.

在五组类型的探索中,使学生充分认知长方体模型的作用,并对模型进行变形,从而明确这些几何模型与正方体之间的联系,凸显长方体的“母体”地位.

三.分而治之,体会分类讨论思想

在三视图还原直观图后,往往会进一步考查学生在直观图对表面积、体积、棱长及最短距离等常见问题进行求解的运算能力.其中空间几何体的外接球问题是难点.笔者通过引导学生先在长方体模型中研究几何体的线面关系,再根据线面关系对外接球问题进行分类求解.

类型1由图3、图4、图5、图6的三视图还原的空间几何体的所有顶点都在长方体顶点上,则外接球直径即为长方体体对角线.

类型2由图8的三视图还原的空间几何体的顶点不全在长方体上,但是有一条棱垂直于某个平面这个特征.(AA1⊥平面A1B1C1,O为球心,O1为△A1B1C1外接圆圆心).

因为AA1⊥平面A1B1C1,而且OO1⊥平面A1B1C1,所以AA1//OO1,所以AA1与OO1确定一个平面,产生Rt△AA1D1.AA1长度已知,AD1为球的直径.所以只需求出A1D1即可.A1D1为△A1B1C1的外接圆直径,所以可以根据正弦定理求解三角形外接圆直径.

类型3正棱锥的外接球问题.以正三棱锥P-ABC为例.O1为△ABC的外接圆圆心.PO1⊥平面ABC.球心O在PO1上.Rt△OO1B中,含有外接球半径OB,△ABC的外接圆半径O1B,及三棱锥的高与外接球半径的差OO1.

图13

类型4从正四面体推广到对棱相等的三棱锥.如已知三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=AD=BC=BD=5.求三棱锥A-BCD的外接球的半径.对棱长度相等的三棱锥可恢复成长方体模型,棱长即为长方体三条面对角线的长度.

通过这三部分教学内容的前后呼应,展示出题目变化的过程,帮助学生形成探索方向,构建起知识结构框图,突出长方体的模型作用.

四.拾级而上,培养自信文科生

在2018高考文理科数学考试大纲中,对文理科考生的空间能力要求描述一致.立体几何初步的考试内容与要求也一致.理科生比文科生还多了空间向量作为求解立体几何的工具.笔者认为与其增加文科生的学习内容,不如立足于扎实培养文科生的直观想象能力.

在组织课堂教学时,不妨将立体几何考查的能力和知识点分散成不同课时的内容,突出每节复习课的重难点.在课堂上,充分发挥长方体等模型的直观性作用,通过例题,设置好“台阶”,让学生拾级而上,增强文科生自信心.