事件的关系与概率运算

1.事件的分类与概率

(1)必然事件：一定会发生的事件,用Ω表示,必然事件发生的概率为P(Ω)=1。

(2)不可能事件：一定不会发生的事件,用∅表示,不可能事件发生的概率为P(∅)=0。

(3)随机事件：可能发生也可能不发生的事件,用字母A表示,随机事件的概率为P(A)∈[0,1]。

2.事件的交、并运算

(1)交事件：若事件C发生当且仅当事件A与事件B同时发生,则称事件C为事件A与事件B的交事件,记为A∩B。

多个事件的交事件：A1∩A2∩…∩An,即事件A1,A2,…,An同时发生。

(2)并事件：若事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称事件C为事件A与事件B的并事件,记为A∪B。

多个事件的并事件：A1∪A2∪…∪An,即事件A1,A2,…,An中至少有一个发生。

3.互斥事件与概率的加法公式

(1)互斥事件：若事件A与事件B的交事件A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B不可能同时发生。例如：投掷一枚均匀的骸子,设事件“出现1点”为事件A,“出现3点”为事件B,则两者不可能同时发生,所以事件A与事件B互斥。

(2)若一项试验中有n个基本事件：A1,A2,…,An,则每做一次试验只能产生其中一个基本事件,所以A1,A2,…,An之间均不可能同时发生,从而A1,A2,…,An两两互斥。

(3)概率的加法公式(用于计算并事件)：若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P A()+P B()。例如：在上面的例子中,事件A∪B为“出现1点或出现3点”,由均匀的骸子可得所以根据概率的加法公式可得P(A∪B)=P A()+

(4)对立事件：若事件A与事件B的交事件A∩B为不可能事件,并事件A∪B为必然事件,则称事件B为事件A的对立事件(也称事件A为事件B的对立事件),记为也是我们常说的事件的“对立面”,对立事件的概率公式为

关于对立事件的几点说明：①公式的证明：因为事件A与事件∅,即事件A与事件,所以又P Ω()=1,于是可得

②此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A的概率所讨论的情况较多时,可以考虑先求其对立事件的概率,再利用公式求解。

③对立事件的相互性：事件B为事件A的对立事件,同时事件A也为事件B的对立事件。

④对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知：事件A与事件B对立,则事件A与事件B一定互斥;反过来,如果事件A与事件B互斥,则事件A与事件B不一定对立(因为A∪B可能不是必然事件)。

例1从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数。

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;

②至少有一个是奇数和两个都是奇数;

③至少有一个是奇数和两个都是偶数;

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。

上述事件中,是对立事件的是( )。

A.① B.②④

C.③ D.①③

分析：理解互斥事件与对立事件的含义是解答本题的关键。互斥事件是指不可能同时发生的事件,互斥事件也叫互不相容事件。其中必有一个发生的两个互斥事件叫作对立事件。

解：任取两个数的所有可能结果为{两个奇数,一个奇数一个偶数,两个偶数}。

若两个事件是对立事件,则它们一定是互斥事件。

下面分别判断每种情况：

①两个事件不是互斥事件;

②“至少有一个是奇数”包含“两个都是奇数”的情况,所以两个事件不是互斥事件;

③“至少有一个是奇数”包含“两个都是奇数”和“一奇一偶”,所以与“两个都是偶数”恰好是对立事件;

④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”均包含“一奇一偶”的情况,所以两个事件不是互斥事件。

综上所述,只有③正确,应选C。

例2甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求：

(1)甲获胜的概率。

(2)甲不输的概率。

分析：甲、乙两人下棋,其结果有“甲胜”“和棋”“乙胜”三种,它们是互斥事件。“甲获胜”可看成是“和棋或乙胜”的对立事件。“甲不输”可看成是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,也可看成“乙胜”的对立事件。

解：(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为

(2)(法1)设事件A为“甲不输”,则事件A可看成是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以

(法2)设事件A为“甲不输”,则事件A可看成是“乙胜”的对立事件,所以P(A)=

例3经统计,在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如表1所示。

表1

(1)求至多2人排队的概率。

(2)求至少1人排队的概率。

分析：求事件的概率常转化为求互斥事件的概率之和,要学会把一个事件分拆为几个互斥事件。当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时,通常是求其对立事件的概率。

解：设没有人排队为事件A,恰有1人排队为事件B,恰有2人排队为事件C,至多2人排队为事件D,至少1人排队为事件E,则事件A,B,C两两互斥,事件A和事件E是对立事件,且D=A+B+C。

由表1中的数据可得P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3。

(1)至多2人排队的概率为P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56。

(2)至少1人排队的概率为P(E)=1-P(A)=1-0.1=0.9。