关注构建过程，思想渗透内容

季小明

[摘  要] “直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第一节的内容，其中的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念，是描述直线倾斜程度的要素，学习本内容对于学生掌握解析几何的研究方法极为重要.

[关键词] 倾斜角;斜率;概念;规律;过程;思想方法

“直线的倾斜角与斜率”内容是解析几何学习的重要起点，不仅包含一些重要的概念，还有解决解析几何问题的一般方法，其知识和思想是后续知识学习的基础，下面将探讨该内容的教学建议.

遵循教学规律，科学引入概念

“直线的倾斜角与斜率”是平面几何的重要内容，其中的“倾斜角”和“斜率”是衔接几何与代数的重要概念，也是章节内容开展的基础. 在教学中需要遵从学生的认知规律和知识发展规律，精化概念引入设计，完成概念自然引入.

学生学习倾斜角与斜率之前已掌握了一次函数图像和平面直角坐标系等知识，高中课程标准指出在教学斜率概念时需要以直角坐标系为背景，结合具体的函数图像和几何图形，引导学生探究表示直线位置的相关要素. 因此，教学的伊始有必要借助一次函数的图像来完成概念的抽象. 如教学中可以给出图1所示的一次函数图像，让学生思考函数对应的直线是由哪些要素来确定的，学生根据知识经验一般可以推理出利用点的坐标来确定直线，此时则可以进一步给出图2，让学生思考同样是通过点P₁的直线，为何两者的图像不同. 通过鲜明的对比学生很容易会关注直线上点以外的要素——角度. 此时教师就可以适时地引导学生观察两直线图像的不同点，也可以从直线旋转的角度引导学生思考何种情况下两条直线可以重合为同一条直线（图3的l1旋转得到l2），引导学生充分认识平面直角坐标系中需要用一点和倾斜角来确定唯一的直线，认识几何角存在的意义.

斜率是解析几何重要的研究内容，而研究解析几何最为重要的方法是代数法，在使用代数法进行研究时需要利用直角坐标系中的点，因此教学斜率就需要利用点的集合知识，从点的衍生规律角度来完成概念教学. 学生结合已有的知识知道两点可以确定一条直线，此时就可以引导学生进一步认识直角坐标系中两点的坐标可确定一次函数，即利用点的坐标来求解一次函数的解析式y=kx+b，而根据函数解析式可以绘制出直观的函数图像，从而完成“两点坐标→函数解析式→函数图像”的认知规律构建，为后续直线斜率的教学打下知识基础.

关注构建过程，揭露概念本质

教材在安排内容时，利用倾斜角与斜率的关系来完成后者的概念衍生，考虑到倾斜角是一个相对特殊且重要的几何量，因此在构建斜率概念时除了需要准确把握两者的联系，还需遵从知识构建的规律. 在实际教学中可以借助直观的图像，利用准确的数学语言，揭示概念的本质，全面呈现概念的构建过程.

对斜率的概念学习不仅需要将其直观化，还需要将其坐标化，教学中可以把握生活图像释义和几何公式推演两条主线，分别完成斜率概念的数学语言描述.

主线一：生活图像释义

首先，给出图4所示的两幅图片，让学生观察图片中的坡面哪个最大. 然后根据实际图像进行数学建模，构建图5所示的几何模型，引导学生得出“坡面的陡峭程度和坡面与平面所成的角度相关”. 紧接着教师可以给出“前进量”和“升高量”两个衡量坡面的参量，结合图6让学生进一步思考坡面角度与前进量和升高量之间的关系，自然而然地完成坡度表示的构建，即坡度=，最后借用倾斜角来完成坡度概念的数学化，“坡度”本质上就是“倾斜角α的正切值”，即tanα=坡度=.

主线二：几何公式推演

对斜率概念的坐标化和公式推演需要借助平面直角坐标系，教学中需从“两点确定一条直线”定理出发完成数学模型的构建和表达式过程的推导. 学生已经掌握不同的两个点可以表示一条确定的直线，引导学生明确“确定的两点”与“直线斜率确定”的关系，然后借助直角三角形、正切和平行线的相关知识，构建图7所示的数学模型：在过点P（x，y）的直线上选取两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），然后分别过点P1和P2作x轴、y轴的平行线，设两线的交点为点Q，则点Q的坐标为（x2，y1）. 最后根据图7的几何模型完成斜率公式的推导，即过点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的直线，其直线的斜率可以表示为k=，即斜率的计算公式.

在完成两条主线的构建后只需要将斜率公式与坡度联系起来即可，实际问题中的坡度就是数学上的斜率，即坡度==k==tanα，则学生很容易理解斜率计算公式中的y2-y1和x2-x1就是在计算模型中的升高量和前进量，这为后续学生利用数学知识解决实际问题是十分有利的.

通过上述两条主线的不同构建过程，显然可以发现：根据点的坐标可以推算直线的斜率k，利用“两个不同的定点→斜率k→直线点斜式y-y1=k（x-x1）”的推演模式可以实现点坐标到函数表达式的推导，这从本质上可帮助学生理解“点坐标”“直线斜率”和“函数解析式”三者之间的关系.

渗透数学思想，提升核心素养

“直线的倾斜角与斜率”章节内容的教学中隐含着一定的思想核心，即引导学生掌握对应的思想方法. 相对而言数学思想更为抽象，学生学习起来更为吃力，但却是数学的精髓所在，对于提升学生的数学思维是十分重要的. 在实际教学过程中教师可以采用思想方法渗透于知识内容的方式，即寄“无形思想”于“有形知识”中.

本节内容教学时需要渗透的思想方法有模型思想、数形结合思想、分类讨论思想和化归统一思想. 模型思想主要体现在教学引入环节的生活实例问题的模型抽象，数形结合思想存在于直线倾斜角α与直线变化情况的辨析中，讨论不同一次函数图像的斜率情况时需渗透分类讨论思想，而化归统一思想则体现在倾斜角、斜率和坐标三者关系的深化中，教学渗透具体情形如下：

1. 模型思想

课例引入阶段采用情景教学方式，首先给出具体的实物图像，然后对实物进行建模，最后从中抽象几何模型，如图8. 给出常见的高射炮图像，以地面和垂直于地面的直线为坐标轴建坐标系，将高射炮的炮管抽象成数学模型，引导学生了解引入倾斜角的概念是为了描述相关实物的倾斜程度. 而从实物图像到数学几何的转化过程就是数学建模的过程，数学模型是描述和分析生活实物的重要手段.

2. 数形结合思想

数形结合思想，即将数学图像与代数知识相结合的思想，引导学生理解倾斜角的概念和存在意义时可以采用该思想. 如教学中可以利用几何画板呈现倾斜角变化对一次函数图像的影响（图9），帮助学生建立“倾斜角α变化→直线图像变化→函数表达式y=kx+b中的k变化”的深刻认识，通过动态的变化图将数与形相结合. 另外，在探究倾斜角α的取值范围时也可以采用数形结合的方式，让学生观察直线旋转过程中α的变化情况，从而找到倾斜角的取值范围，充分理解倾斜角的概念.

3. 分类讨论思想

一次函数的图像根据斜率存在性可以分为两种情形，因此在教学直线上任意两点均可以确定直线的倾斜角时采用分类讨论思想来完成讨论，如图10，引导学生分别对α=90°和α≠90°两种情形的直线斜率进行计算，从而得出：α≠90°时，tanα=（x1≠x2）;α=90°時，tanα不存在. 另外，在讨论α的取值范围与斜率k的符号的关系时也可以采用该思想，可将k分为k<0、k>0、k=0和k不存在四种情形.

4. 化归统一思想

理解倾斜角α、斜率k与点坐标三者关系是帮助学生形成解题策略，提升继续深造能力的关键，在实际教学中可以结合具体的问题来进行. 首先给出两个点的具体坐标，如点A（-3，1）和B（-4，2），让学生求解过点A和B的直线的斜率，以及对应的倾斜角. 学生从点坐标求解直线斜率和倾斜角的过程中可以提炼出求解一般问题的思想方法，逐步培养学生化归统一的思想. 另外也可以反向求解，给出过点A（-2，4）和B（-4，y）的直线的斜率k=2，让学生反推点B的纵坐标，进一步构建由点坐标为引导的解题模型.

总之，本章节的核心内容是直线倾斜角和斜率的概念诠释与公式搭建，课堂教学应以概念的几何与代数属性为基础，基于学生的认知，从知识的发展规律入手来开展;关注概念的构建过程，主抓教学主线，渗透数学思想，在深化学生概念理解的基础上搭建解决实例问题的模型平台，培养学生的学科思想，提升学生的解题能力.