学理分析：让结构化学习深度发生

席爱勇，吴玉国

（1.淮安市工业园区实验学校，江苏　淮安　223008；2.淮安市淮阴区教师发展中心，江苏　淮安　223300）

小学数学结构化学习的学理旨在通过对数学知识结构与学生的认知结构深度分析，融通共生，让学生经历数学认知的完整过程，建构数学知识的完整样态，实现知识技能、过程方法、情感态度、思想价值等多层面数学素养的全面发展。正如图1所示，学生数学知识结构是由与新知相关的核心元素、课时内容、单元整体、领域分布以及学科之外的广阔的生活世界共同构成的多维度立体结构。在数学知识结构的建构过程中，通过直观操作、描述分析、抽象概括、实践应用等认知结构化加工，最终形成学生的知识技能、过程方法、情感态度、思想价值等多层面数学素养结构。

图1　学生数学知识结构

一、数学知识结构分析

美国认知心理学家布鲁纳指出：“掌握事物的结构，就是允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它。简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”[1]小学数学结构化学习着眼于数学整体知识结构的建构，通过对课时内容与本单元、本领域、相关领域和学科外内容的关联性结构分析，将课时内容置于数学整体知识结构中去建构，使课时内容具有连续性、关联性和生长性，实现在局部中认识整体，在整体中认知局部。

（一）课时内容的宏观关联结构分析

1.课时内容与单元内容的关联结构分析

如果把课时内容看作一个点，那么单元内容就是一条线。“点动成线，点线相连。”因此教师要厘清课时内容在本单元中的前沿后续，充分认识课时内容在本单元的作用和价值，看到课时递进的层次和关联，形成单元整体结构。例如，苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册第三单元例1“小数的意义”与单元内容关联性分析（如表1）。

从表1中我们不难发现：例1“小数的意义和读写”是整个单元内容的基础，在整个单元学习中起着统摄作用。在这一课中让学生直观而深刻地认识小数的产生、分不足、平均分、分母是10、100、1000……的分数和一位小数、两位小数和三位小数的关联对后续学习小数相关内容起到至关重要的作用，后面几课时的学习内容都是例1学习内容的自然递进。

2.课时内容与领域内容的关联结构分析

如果把课时内容和单元内容看作点线关系，那么课时内容与领域内容就可以看作点面关系。在这里，我们不仅要分析课时内容与本领域的关联，还要分析课时内容和数学相关领域的关联，用整体关联的眼光看待课时内容。例如我们在学习“小数的意义和性质”时，不仅要和三年级下册“小数的初步认识”、五年级上册“小数的四则运算和混合运算”、五年级下册“小数和分数的互化”以及六年级上册“小数和百分数的互化”“求比值”相联系，还要和三年级上册的“分数的初步认识（一）”以及三年级下册的“分数的初步认识（二）”相联系，以及一至四年级的“整数的意义、读写以及大小比较、十进制计数法”等知识相联系，将小数看作十进制分数系和整数系向细分方向的拓展，这样就把小数意义和分数、整数有机联系起来，弄清小数意义知识的前延后续、纵横联系，在“数与代数”的领域框架下理解和建构小数的意义。当然，我们也要看到“小数的意义”与“图形与几何”“概率与统计”等相关数学领域的普遍联系。例如我们在学习“小数的意义”时，需要涉及物体长度的丈量、正方形和正方体的分割、人民币单位换算、长度单位换算等很多“图形与几何”领域的知识技能，在平均分、数一数时也涉及“统计与概率”领域的思想方法。

表1　“小数的意义”与单元内容的关联性分析

3.课时内容与学科外内容的关联结构分析

我们不仅要看到课时内容与单元内容、领域内容之间的关联，即学科内的知识结构关联；还要看到课时内容与学科外其他学科知识结构乃至学生整个生活世界的结构关联，将课时内容置于学生广阔的生活世界里来进行结构化学习设计，让课时内容真正站立起来，不断丰盈起来。例如，我们在学习“小数的意义”时，不仅要看到它与小数的性质、小数大小比较、小数四则运算等小数领域知识的结构性关联，还要看到它与分数、整数、比等“数与代数”领域相关知识的结构性关联以及与“图形与几何”“概率与统计”等数学领域的结构性关联，更要看到它与学科外其他学科如自然、物理、化学等学科结构性关联，尤其是学生日常生活世界的结构性关联，如丈量物体长度、货币兑换等。

（二）课时内容的微观元素结构分析

如果说上面是课时内容的向外拓展性结构研究，那么课时内容的元素结构分析就是课时内容的向内微观性结构研究。通过课时内容的向内微观性结构研究，即通过课时内容各个教学要点的元素分解与重组，不断优化课时内容的呈现方式，丰富课时内容的内涵品质，使课时内容更有普适性、深刻性和生长性。如我们在学习“小数的意义”时，可以将课时内容分解为整体认识（如生活经历、学习经验）、理解（如丈量、分不足、小数表达）、读写（零点几、几点几）、计数单位（如十分之一、0.1、直尺上的分数与小数）、数位（如十分位、小数点、数位顺序表等）、进率（如满十进一、正方形数轴、计数器等）等若干学习要点，再将这些学习要点的落实分解成若干核心要素，对这些核心要素进行再优化组合，从而实现数学学习的“再创造”，不断提升学习效果和内涵品质。

二、学生数学认知结构分析

美国认知心理学家奥苏伯尔说:“每当我们致力于影响学生的认知结构，以便最大限度提高意义学习和保持时，我们就深入到了教育过程的核心。”[2]在学生认知结构形成过程中，知识的组织和表征是两个非常重要的影响因素，教师应该以此为依据，运用合理的教学策略，力争使学生构建合理的认知结构。

学生数学认知结构到底是怎样形成的？多元表征认知心理学家依据新双重编码理论给出了答案。数学表征特指数学领域中的表征，其本质是数学学习对象的一个替代。数学多元表征从本质上分两类：一是数学对象的言语化表征，如文字、口头语言、书面语言、逻辑符号、公式定理等，主要指数学中的“数”；二是数学对象的视觉化表征，如图形、图表、数学模型、实物情境、表情、肢体动作等，主要指数学中的“形”。数学多元表征就是基于“数”和“形”形成两类本质不同的编码系统：言语编码系统和心象编码系统。言语编码系统专门处理言语码，表征言语信息。心象编码系统专门处理心象码，表征非言语信息。[3]

在加工信息的过程中，言语编码系统和心象编码系统既相互独立又紧密联系。具体体现在它们之间有三种联系与加工方式：表征性加工、参照性加工和联想性加工。[4]表征性加工指一个或两个系统的最初激活，是外界刺激对内部编码系统的作用或影响。参照性加工指两个系统之间的相互激活和参照性联系，即言语码可以激活心象码，心象码也可以激活言语码。联想性加工是指一个编码系统内部的激活扩散即言语系统中的言语码可以激活言语系统内部其他的言语码，而心象系统中的心象码可以激活心象系统内部其他的心象码。

从数学多元表征认知结构模型（参见图2）可以看出，教师将数学学习对象以言语信息（口语、文字、符号）和非言语信息（实物、模型、图片、活动、情境）形式呈现给学生进行外在表征加工。言语信息通过符号语义分析原理进行加工，形成言语表征，以言语码形式进入学生的言语表征系统；非言语信息通过结构对应原理进行加工，形成图像表征，以心象码形式进入学生的心象表征系统。新编码在系统内与学生系统内原有的旧编码进行联想性加工，实现系统内信息相互转换，建构意义联系，形成言语码组织（命题、图式、CPFS结构等）和心象码组织（视空间表征、心智模式等），同时在系统间进行参照性加工，实现系统间信息相互转译，建构意义联系，最终整合成学生的数学认知结构，必要时外化应用于新的数学学习对象。可见，数学多元表征学习的内化过程本质上就是对数学学习对象进行多元理解、多元编码、转换转译、建立数学认知结构的过程；数学多元表征学习外化的过程本质上就是数学认知结构外显化、可视化，应用于新的数学学习对象的过程。“外在表征——（感知）——内在表征——（转换）——认知结构——（应用）——实践表征”构成了学生数学多元表征学习的认知循环系统。[5]

图2　数学多元表征认知结构模型

三、学生认知结构与数学知识结构融通实践

小学数学结构化学习以学生数学认知结构发展过程为经线，以数学知识建构过程为纬线，以数学多阶思维发展过程为轴线，融通旋转，形成一个多维度立体式结构化学习方式，让学生经历认知发生发展的完整过程，建构数学知识的完整样态，促进数学思维阶梯式循环往复螺旋上升，最终实现数学核心素养的落地生根、持续发展。（模型建构如图3）

从图3中我们不难看出，小学生的认知发展从直观操作开始，连续生活体验，让生活现象逐步转化为学生的认知对象，并逐步建立整体表象；通过表象描述，从零星逐步走向丰富，形成关于概念的各种属性，创生知识胚胎和载体；通过概念分析，关联概念元素，逐步去除概念非本质属性，保留概念本质属性，实现概念类化；通过概念归纳，将概念本质属性有机组合起来，抽象出概念定义；通过模型建构，建构数学概念和数学符号的关联；通过符号表达，实现概念符号化模型建构；最后回归实践应用，在实践应用中不断检验完善数学模型，循环演绎拓展数学知识。随着学生数学认知不断推进，数学思维不断进阶，学生的数学知识结构也逐步建构起来了。

图3　数学结构化学习模型结构

例如，笔者在教学“小数的意义”时，运用结构化学习模型进行了认知结构发展过程和数学知识结构发展过程实践分析，并依此进行学程设计，组织课堂教学，学生学得轻松自然、深入浅出，真正实现学一点点，见一片片，从由外而内的结构理解，到由内而外的创生发展。在课堂上，走着走着，教师就“不见了”，学生就成了学习的主人。

因此，小学数学结构化学习在实现学生数学认知结构和数学知识结构以数学思维为轴的自然融通发展中，数学学习自然深度发生，数学核心素养自然落地生根，蓬勃生长。▲

参考文献：

[1]吴亚萍．“新基础教育”数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009:49.

[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009:56.

[3][4]唐建岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009:18-39.

[5]席爱勇.多元表征学习：让数学学习深度发生[J].教学月刊（小学版），2017（7/8）:81-82.