解“好题”，“解好”题——例析指向减负增效的数学作业布置和完成要求

石树伟

（扬州市广陵区教师发展中心，江苏　扬州　225006）

学数学离不开解题，但许多教师没有深入思考学数学需要解怎样的题、怎样解题，仅片面理解为学数学就是要大量刷题，导致当前数学教学中应试式的题海训练盛行，学生作业负担沉重，学生疲于应付、只做不思，不仅严重摧残学生的身心健康，更影响学生创新意识和能力的培养。学生作业减负增效已刻不容缓！

一、布置作业需思考：做作业，为什么

做任何事都应目的明确，否则就做不好事。学数学离不开解题，这句话本身没有问题，著名数学家华罗庚也说过，学数学不解题，犹如入宝山而空返。但许多教师对这句话还缺乏深入思考，特别是疏于对解题目的的思考：入宝山究竟淘什么宝？南京师大附中陶维林老师曾经给青年教师出过一个思考题：做题目，为什么？同样，教师布置作业时也需要思考这一本原性问题：做作业，为什么？想清楚“为什么要让学生做题目”“为什么要给学生布置这些题目”[1]，教师布置作业就不会盲目。教师应认识到，解题可以巩固知识、熟练技能，这是解题的初级目标，是需要的也是必要的，达成这一目标，适量的重复训练即可；解题还可以提升能力、增长智慧，这是解题的高级目标，也是学生数学作业减负增效所追求的目标，达成这一目标不是题海训练所能完成的。目的明确了，学生作业减负增效才有可能。

目的清楚了，还必须围绕目的行事。为提升能力、增长智慧以达到减负增效的作业效果，学生作业需解“好题”、“解好”题。解“好题”是对作业布置——解怎样的题的要求，“解好”题则是对作业完成——怎样解题的要求。现在的困难在于如何做到让学生解“好题”、“解好”题。

二、解“好题”，怎样才算是“好题”

这里的“好题”主要是针对构成一次作业的一组习题而言的。单个的习题有好坏之分，但因为日常教学中初中数学作业习题原创很难，以教师选择、改编为主，而教师的功力更主要地体现在构成一次平时作业的一组习题的精心编排和组合，让学生做适量的题就能达到作业目的，并取得好的成绩，这是考验教师水平的。

1．“好题”应具有典型性

笛卡儿说过：“我所解决的每一个问题将成为一个范例，以用于解决其他问题。”学生的学习时间非常宝贵，作业练习的习题应力求是典型的：既要巩固应用当前所学知识、渗透重要数学思想方法，也应是某种规律的代表，能由“个”及“类”[2]。如三角形的全等和相似常常可以归结到某一类基本图形，因此在选编这部分内容的作业时，应对三角形全等和相似的基本图形进行梳理，加强基本图形的识别与训练。

案例1：相似三角形的判定课后作业之一

题1.如图1，已知AB⊥BD，ED⊥BD，点C是线段BD上的一点，且AC⊥CE，找出图中的相似三角形，并说明理由。

题2.如图2，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AC边上一点，动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动。连接DE作∠DEF=45°，与边BC相交于点F。找出图中的一对相似三角形，并说明理由。

题 3.图 1中∠B=∠D=∠ACE=90°，图 2中∠A=∠B=∠DEF=45°，一条直线上的三个角必须是90°或45°才有相似三角形吗？推广到一般情形，满足什么条件就有三角形相似？

题4.如图3，∠A=∠B=∠DEC，找出图中的相似三角形，并说明理由。形成过程，学会命题。

案例2：二次函数的应用课后作业之一

题1．（祖题）用16m长的篱笆围一个长方形的生物园。长为多少时长方形生物园的面积达到最大？

题2．（本题）如图4，要用总长为16m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的生物园饲养小兔。求小兔活动范围的最大面积。

题3．（子题1）如图4，要用总长为16m的篱笆，一面靠墙（墙的可利用长度为6m）围成一个长方形的生物园饲养小兔。（1）求小兔活动范围的最大面积；（2）解决上述问题时，你结合大致图像思考了吗？假如没有，尝试一下结合图像解决问题，思考数形结合有什么好处？

题4．（子题2）如图4，要用总长为16m的篱笆，一面靠墙（墙的可利用长度为12m，且要求靠

图4　

图1　

图2　

图3　　

【案例评析】题1、题2在变化中进行适度的重复，巩固熟练三角形相似判定方法的应用，更主要的是在重复中感悟三角形相似基本图形的结构特征。题3、题4则是反思提升，将题1、题2由特殊情况推广到一般情形，提炼三角形相似的基本图形——一线三等角，充分体现了作业习题选择的典型性。

2．“好题”应具有生长性

著名数学教育家波利亚有过一个形象的比喻：“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。”作业习题应从一条常见习题——本题追溯其来源——祖题（或题根），再从本题衍生出新的问题——子题，使作业习题体现生长性。习题的变式生长，既能为学生搭建恰当的“脚手架”，由易到难不断提升训练的思维层次，又具有一定的创新成分，有效避免机械重复训练，实现“在坚实的基础上有所发展”[3]；既能让学生学会解题，又能让学生见习习题的墙一边AD的长不小于6m）围成一个长方形的生物园饲养小兔。（1）求小兔活动范围的最大面积；（2）小兔的活动范围存在最小面积吗？若存在，求出最小面积。

（题4简解如下：设 AB=xm，面积为ym2，则y=-2x2+16x=-2(x-4)2+32。由6m≤BC≤12m，可得6≤16-2x≤12，即2≤x≤5。结合图像，所以当 x=4即 AB=4m时面积 y=32m2，当 x=2即AB=2m时面积y=24m2。）

题5．（反思）回顾从题2到题4求面积最值的过程，它们有什么共同之处，又是如何变化发展的？

题6．（反思）一次式乘以一次式才会有二次式，因此二次函数模型一般来源于生活中a×b型的数量关系。试想一下：（1）面积问题中为什么容易构造出二次函数？（2）除了面积问题，生活中还有哪些问题可以构造二次函数模型？

【案例评析】二次函数的应用是中考必考且压轴的常见题型，案例从题1到题4通过实际问题中自变量取值范围的不断变化，变式拓展问题，至题4俨然已经形成一道综合应用题。学生通过变式过程的回顾，可以清楚地看到一道二次函数应用中考压轴题是怎么形成的。因为二次必须由一次乘一次而来，因此二次函数的应用题常源自乘法模型，生活中的乘法模型常见两类问题，一类是面积问题（长乘宽或底乘高），一类是销售问题（单价乘销量或单件利润乘销量），题5、题6引导学生对二次函数应用题的命题过程及来源进行了本质揭示。这样具有生长性的作业题，会让学生体会到数学题的命制并不神秘！

3．“好题”应具有联系性

量子论创立者普朗克说：“科学是内在的统一体，它被分解为单独的部门不是由于事物的本质，而是由于人类认识能力的局限，实际上存在着从物理学到化学、人类学到社会学的连续链条。”科学知识之间存在着联系，数学习题之间也是有联系的。作业习题宏观上要关注不同章节知识之间的联系，如三个一次（一次函数、一次方程与一次不等式）之间的联系、两个二次（二次函数与二次方程）之间的联系、相似形与三角函数之间的联系，微观上关注本题与子题之间在思想方法上的联系，习题之间增强联系性有利于学生站得更高、看得更远，有利于学生把握问题本质。

案例3：平面图形的认识课后作业之一

题1．（1）如图5，直线l上有A、B、C、D四个点，则图中共有多少条线段？请分别表示出这些线段。（2）若一条直线上有n个点，则这n个点之间共有多少条线段？

题2．（1）如图6，从点O出发引出OA、OB、OC、OD四条射线，则图中共有多少个角？请分别表示出这些角。（2）若从点O出发引出n条射线，则这n条射线共有多少个角？

图5　　

图6　

题3．（1）4支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的总场数为多少？（2）n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的总场数为多少？

题4．（反思）n支球队之间单循环比赛的场数与直线上n个点之间线段的个数、从一点出发的n条射线之间角的个数有联系吗？数学中、生活中还有类似的问题吗？

【案例评析】将线段和角的个数问题与单循环比赛场数问题集中展示练习，有利于学生发现三个问题及其解法之间的联系，既可以帮助学生通过几何直观理解抽象的单循环比赛场数问题，又可以引导学生逐步建构“握手模型”，并继续寻找“握手模型”在数学和生活中的体现，如多边形中对角线条数的问题、一条线路上n个站点之间票价的种类问题等，使学生在练习中能够触类旁通，体验数学学习的无穷乐趣。

4．“好题”应具有反思性

孔子云“学而不思则罔，思而不学则殆”，告诫学子们只有把学习与思考结合起来，才能有所提升。同样道理，学生数学作业不能只解题不思考，“做题千万道，解后抛九霄”是难以达到提升能力、增长智慧的目的的。著名数学教育家波利亚认为，“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”，在其名著《怎样解题》列出的解题表中，他把解题分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，其中“回顾”就是我们现在所说的解题反思。因此，好的作业题即“好题”一定要具有反思性。

好的作业题，一方面可以通过其生长性、联系性而自然创设问题情境，引发学生主动反思。另一方面，为弥补初中生数学思维的局限性，设计一些反思性问题作为作业题，可以以云图的形式附在相应习题的一侧，反思回顾解决问题的关键及突破路径，如案例2题1右侧云图中的反思性问题；也可以按序编排在相应的习题后面，反思总结一般规律、思想方法，这样的反思性问题本文案例都有涉及。通过反思性问题引导学生被动反思，逐步变被动反思为主动反思，培养学生解题后回顾反思的良好习惯。如案例1的题3，引导学生对题1、题2两种特殊情况进行反思，感悟两题题图的共同结构特征，从而推广到一般情形，形成三角形相似的一个非常有用的基本图形；案例2题3的第（2）题，引导学生对最值寻求的过程进行反思，体会感悟数形结合思想的作用；案例2的题5，引导学生对面积问题构造二次函数的过程进行反思，再发散寻找类似的生活模型，有利于学生从根本上理解二次函数应用题的由来，深刻领会生活中的常见二次函数模型；案例3的题4，引导学生比较分析线段个数、角的个数、单循环比赛场数三个问题之间的联系，聚敛形成“握手模型”，同时发散寻找类似实例。

三、有了“好题”，怎样才算“解好”

孔子曰：“举一隅不以三隅反，则不复也”。写出过程得出答案不代表就“解好”题了，解题应从“答疑——解决一题之疑”，上升到“思疑——寻求一类之策”[3]，从外在的答案走向内在的经验、思想、联系，并发散创生形成新的问题。这就要求在学生完成作业时，同样在教师检查作业时，既要重视一般性习题的解答，更要重视反思性问题的思考。反思性问题的完成情况更能体现学生作业完成的质量，因为反思性问题是以前面一般性习题的完成为基础的，是对一般性习题更深入的思考。

1．“解好”题——从过程走向经验

学生完成作业首先需认真解答好一般性习题，然后在题侧云图出示的反思性问题的引导下，回顾反思解题思路寻求的过程：思路是怎么产生的，关键是什么，遇到了哪些困难，是如何克服这些困难的。通过反思促进学生的“元认知”体验，培养学生的思维调控能力，积累基本活动经验——思维的经验。

如在案例2题1云图的反思性问题引导下，学生回顾解题过程，能意识到解决本题的关键是构造二次函数，突破口是由问题“长为多少时长方形面积最大”联想到二次函数知识，从而积累解决最值问题的经验，这样才算真正“解好”了这道题。

2．“解好”题——从经验走向思想

有了经验还不够。学生完成作业还需在认真解答好一般性习题的基础上，在反思性问题的引导下总结归纳解题规律和策略，将习题由“个”的阶段“类化”上升至“类”的阶段，升华经验，提炼一般规律，明晰数学思想。

如案例1的题3、题4意在揭示一般规律、提炼基本图形，案例2题3的第（2）题意在引导学生感悟、明晰数形结合思想，这些问题更需学生认真思考解答，这些问题的完成质量标志着学生是否“解好”了题。

3．“解好”题——从思想走向联系

从经验走向思想，还停留在解决一个一个的单个问题、解决别人的问题层面，没有跳出解题者的视野。学生完成作业还需在认真解答好一般性习题的基础上，在反思性问题的引导下回顾感悟习题的生长性、联系性，从宏观上反思从生活到问题、从问题联系知识，再不断变式发展的过程，让学生感悟习题与生活、习题与知识、习题与习题之间的联系，提升对习题的理解层次，并超越解题，经历习题的命制过程，形成从“解题”视角到“命题”视角的飞跃。

如案例2的题5、题6意在引导学生感悟二次函数应用综合题的完善过程及命制的生活源头，案例3的题4意在引导学生感悟不同知识点、不同领域之间问题设计的融会贯通，从会做题到会命题，真正实现学生作业的减负增效。

4．“解好”题——从联系走向创生

爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”解题不能总是解决别人的问题，还要发现问题，创造问题，留下猜想。学生作业若能从有疑到无疑，再从无疑到有疑，尝试创生出新的问题，这就达到了“解好”题的最高境界。

如案例2的题6，引导学生感悟二次函数模型一般来源于a×b型的数量关系，期待学生发现生活中更多的二次函数模型；案例3的题4通过已有问题的分析比较，期待学生发现更多的数学和生活中的“握手模型”。

四、结束语

从作业布置到作业完成，都要围绕减负增效目标力求让学生解“好题”、“解好”题。当然，不同内容、不同学情的作业布置和完成要求会不尽相同，不要求也不可能做到面面俱到。古人云“取法乎上，仅得其中”，作业布置和完成应以上述要求为努力方向，提升能力、增长智慧，从而落实和达成减负增效。▲

参考文献：

[1]章建跃.章建跃数学教育随想录（下卷）[M].杭州：浙江教育出版社，2017：729．

[2][3]石树伟.落实“四基四能”：例题教学可以先行先试[J].中学数学，2015（8）：68-70．