循“规”守“则”：多重视域下的小学数学“规则教学”

曹志国

（苏州市相城区陆慕实验小学，江苏　苏州　215131）

数学知识包括客观性数学知识和主观性数学知识两类，客观性数学知识是指那些不因地域或学习者而改变的数学事实，包括数学概念、数学规则和数学思想方法。[1]数学规则是一种形式化的结构，是两个或两个以上数学概念之间的关系及其规律性在人脑中的反映。在美国教育心理学家加涅提出的由简到繁的八个学习层次中，规则属于较高层次的学习，是理智技能中最典型的形式。在奥苏贝尔的五类有意义学习中，规则学习为概念学习与高级规则学习或解决问题学习与创造学习的中间环节。

小学数学规则的主要表现形式是法则、性质、定律、公式等，它广泛地存在于数与代数、图形与几何、统计与概率等内容之中，其学习对于改善学生的思维品质，培养数学思维能力及探索、创造能力起着重要的作用。数学规则教学应基于整体性、本体性等多重视域展开，循序列化、理性化、本源化之“规”，守结构性、严密性、合理性之“则”，促进规则自然地生长，科学地生成，内在地生发。

一、循“序列化”，守“结构性”，整体视域下的规则生长

数学规则是一种形式化结构，其学习的复杂程度及思维层次都高于数学概念的学习。同时，数学规则本身又在纵向上不断发展，延伸完善；在横向上不断交叉，形成体系。整体视域，就要站在学段整体与规则系统的高度，遵循知识内在逻辑之“序列”与学生认知发展之“序列”组织教学。课堂实践中应化难为易，逐步渗透；循序渐进，打通联结；促进规则自然生长，建立规则结构体系。

1.纵向渗透，形成认知

加涅认为：“规则通常是在教学结束时而不要在教学之初就用语言呈现。学习时一般要求把它们分解为一些更简单的部分，而最后才是把它们整合为一条完整的规则。”基于知识内部严密的逻辑性、规则本身的复杂性和儿童认知发展的阶段性特点，教学中，在纵向上可全程“灌滴”，逐步渗透，加强不同年段之间的规则融通，让学生逐渐感悟、抽象并建立相应的规则模型。

“一个数连续除以两个数，就等于这个数除以这两个数的积”这一运算性质在教学中遵循教材之序列，采取多次孕伏、灌滴渗透的方法，帮助学生形成认知。三年级上册《两三位数除以一位数——复习》第7题，呈现诸如848÷4÷2，848÷8的计算；三年级下册《混合运算——练习五》第6题，计算320÷4÷2，320÷（4×2）；四年级上册《两、三位数除以一位数》单元“练习三”和“整理与练习”中，也都呈现了类似720÷（8×6）的计算，并要求学生之间交流算法；再到四年级下册第六单元《运算律——整理与练习》第6题，计算290÷5÷2、290÷（5×2），并提出“算一算，比一比，你有什么发现”的学习要求。从三年级上册起，在除法计算、混合运算、运算律等单元教学中，多次对除法运算的性质进行渗透，使学生逐步感悟，并能逐渐运用这一性质进行数学计算。到四年级下册教学“运算律”时，明确提出规律探寻的要求，引导学生用多种形式对除法的这一运算规则进行表征，完成数学模型的构建。到了六年级上册，教学《分数除法》之时，应及时转化，沟通除法性质与乘法运算律之间的内在联系。根据“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数”，建立诸如290÷5÷2=290÷（5×2）与之间的对应关系，实现乘、除法运算规则走向统一。

纵向渗透，就是在不同阶段对相同规则进行由浅入深、由易到难的课堂实践，使学生在不同阶段对相同规则有不同的表征样态，并在特定阶段进行表征系统内的互相转译，实现规则的统一互通，促进学生对数学规则的认知更加完整、清晰和稳固。

2.横向联结，建立结构

数学教学中力求呈现数学动态统一的、有机关联的、鲜活生动的、具有探索性的和全息性知识特征的科学与文化形象，而不是固定不变的、僵化教条的、局部的、彼此分割的知识条块和记忆库。[2]而在奥苏贝尔看来，学习材料本身具有逻辑意义是有意义学习的重要条件。教学中，要善于发现不同数学规则之间的紧密的联系，找寻逻辑上的意义，在“新”规则的同化及形成后，抽取出“新”“旧”规则之间的内在联系，提炼出不同规则间共同的精神内核，使“新”规则融合到已有的规则系统中去，实现学生高水平上的认知再平衡，构建动态的、全新的、更高位的规则体系。

在二年级下册《两、三位数的加法和减法的笔算》教学中，形成了基于十进制位值原则下的“相同数位对齐、满十进一或借一当十”；基于计算的便捷性的“从个位算起”等整数加减法的计算规则。到三年级上册教学同分母分数加减法时，构建了“只要把分子相加、减，分母不变”的计算规则。到了五年级上册，在教学小数加减法时，学生形成了“小数点对齐，即相同数位对齐”的认知。五年级下册，“异分母分数加减法，先通分成同分母分数，再按照同分母分数加减法的方法进行计算”的规则也已形成。当整数、小数、分数加减法的计算规则已全部独立构建之时，应加强规则之间的横向沟通：整数加减法的“相同数位对齐”，小数加减法的“小数点对齐”，同分母分数加减法的“分子相加减”，异分母分数加减法的“先通分”，在本质上完全相同，共同的规则是“只有相同计数单位上的数才能相加减”，从而加深学生对算理的认识，为算法提供理论依据。

杜宾斯基关于数学概念学习的APOS理论模型的最高阶段即为图式阶段，就是对相关的数学知识之间进行高层次的心理加工与整合，在头脑中产生一个新的综合心理图式。明确不同数学规则之间的“共同规则”，将多个“规则单一体”整合成“规则共同体”，实现表征系统间的互相转换，才能使规则交叉融合，结成网、连成片，从比较简单的结构生长出更为复杂的结构，构建规则结构系统。

二、循“理性化”，守“严密性”，个体视域下的规则生成

抽象、推理、模型等基本思想是数学学科的灵魂，分别从数学的产生、内部发展、与外部关联三个维度影响着数学的发展。其中，推理是从已知判断推出未知判断，一般包括合情推理和演绎推理。在小学数学课堂中，规则的发现常常伴随着猜想，但更离不开推理。如果说猜想是感性的、发散的，那么推理则是理性的、严密的。个体视域就是要秉持思维的理性，基于规则的严密性，从数学推理的角度探寻个体数学规则的科学生成，在教学实践中注重合情推理与演绎推理不同的功能形式指向，并适时将多种不同的推理方法有机整合。

1.注重指向，理性生成

美籍匈牙利数学家波利亚认为：学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这样发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。[3]归纳是由特殊到一般的推理，演绎是由一般到特殊的推理，类比是从特殊到特殊的推理。基于不同推理的功能差异，在教学中应凸显它们不同的价值指向，基于不同的规则教学适时加以运用，引发学生的探索发现之旅，震荡出问题表象中蕴藏的规则力量，并用数学符号化的形式予以表征，理性生成规则模型。

多边形的内角和计算公式的教学，先从三角形内角和的探究开始，其内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°……引发学生对边数、内角和之间的内在规律的探寻。再基于已有发现，由一类对象中部分对象具有的某种属性,推出该类对象全类都具有该属性，抽象出数学规则，建立多边形的内角和=（边数-2）×180°的数学模型，实现认知顺应，完成数学规则的上位学习，彰显不完全归纳推理的实践价值。而正方体体积计算公式安排在长方体体积计算公式的学习之后，教学中演绎推理的价值应值得重视。长方体的体积=长×宽×高，正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体，因此，正方体的体积=长×宽×高=棱长×棱长×棱长=棱长3，完成认知同化，实现数学规则的下位学习，形成新的数学认知结构。学习分数的基本性质和比的基本性质，可利用它们和除法商不变规律的联系通过类比去掌握，完成数学规则的并列学习。

“传统的数学教学大纲比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而《标准（实验版）》又矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化……《标准（2011版）》把推理能力作为10个核心概念，确立了推理能力的重要地位。”[4]当前，大量文献资料表明，众多专家学者也都认为推理能力是学生不可或缺的核心素养。规则教学中，要深入挖掘蕴藏于教学内容中的推理因子，有区分地运用不同的推理形式，引领学生完成从未知到已知的数学探寻，从中彰显不同推理的价值意蕴，加强学生对数学规则的理性认识，步入培养学生推理能力的新境界。

2.多维融合，严密构建

“归纳和演绎正如分析与综合一样，是必然互相联系着的。不应牺牲一个而把另一个捧到天上去，而要做到这一点，只有注意它们的互相联系，它们的互相补充。”[5]恩格斯在

《自然辩证法》中的话语给我们以深深启迪。而在加涅看来，规则学习至少包含掌握规则的言语信息和规则证明两个阶段。合情推理与归纳推理的功能指向虽有所侧重，但在教学中要避免将各自推理的作用绝对化的倾向，应将多种不同的推理予以融合，使其相辅相成、共生共长。教学中，对于同一数学规则的得出，可引领学生经历多维形式的推理过程，使不同的推理互相作用，促进数学规则的严密建构。

四年级“乘法分配律”的教学，可在32×102=32×100+32×2等较多计算实例的基础上，进行不完全归纳推理，抽象出（a+b）×c=a×c+b×c的数学规则；通过“象棋每副32元，买102副一共需要多少元”的现实问题解决，进行长方形面积分割计算时数形结合分析（参见图1）的类比推理；从乘法意义的角度说明“100个32再加2个32就是102个32”，进行算理解释，推论这样的合并无论相同加数是多少、有几个，都是成立的，揭示对象与其属性之间的因果联系。不完全归纳推理、类比推理、演绎推理等不同推理方式的整合运用（参见图2）[6]，使数学结论的探寻也兼具有了证明的属性，使数学规则的得出从感性走向理性，或然走向必然。

三、循“本源化”，守“合理性”，本体视域下的规则生发

小学生学习的数学知识大多是一种间接的知识，教学如果片面指向“是什么”，而忽略“为什么”，那么数学也只是“冰冷的美丽”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。对于数学规则，如果学生只知其来源于课本、来源于教师、来源于权威，也必将压抑学生的探究精神和创新意识，从而变得舍本求末、“远离”数学。本体视域，就是要引领学生循回数学本源、回溯知识源头、走进规则内部，经历再探索、再发现和再创造，适当亲历数学规则的形成过程，感悟数学规则既是约定的条文，更是人们统一意愿的体现，是基于合理性的内在生发，从而对规则产生“亲近”。

图1　

图2　

1.回溯本源，内在生发

弗赖登塔尔有言:“教数学活动不是教数学活动的结果,而是教数学活动的过程,而且从某种程度上讲,教过程比教结果更重要。”现代数学的鼻祖康托也有“数学的本质是自由”的论断。我们要充分调动学生的主观能动性，引领他们经历规则的生发过程，从事“火热地数学思考”，探寻规则源头闪烁的人类自由思维。

竖式计算是运算方法与程序规定的体现，其理论依据是“计数的位值原则”。在四则运算的竖式计算中，小数乘小数“末位对齐”而非“相同数位对齐”的计算法则显得与众不同。教学中，要通过不同书写形式的比较，引导学生发现其规则确定的适切性，产生主动加以运用的积极心理。如2.31×1.3，根据算理：3个0.1与1个0.01相乘，得到3个0.001，3写在千分位上，3个0.1与3个0.1相乘，得到9个0.01，9写在百分位上，3个0.1与2个1相乘，得到6个0.1，6写在十分位上；再把1分别与1个0.01、3个0.1、2个1相乘，得数分别写在对应的数位上，最后相加得到3.003（参见图3）。教学中应首先使学生认识到小数乘小数，相同数位对齐的算法是可行的；其次在与“末位对齐法”的竖式比较中，充分感受到后者不论是计算过程，还是书写形式，更为简洁方便，不易出错；而且“积的变化规律”也为其提供了确切的算理支撑。因此在小数乘小数时，将乘数末尾对齐的写法也就成为约定俗成。回溯到规则的源头，规则也不再是冰冷的、生硬的，而是温情的、自然的，内在生发而充满着生命的活力。

图3　

2.经历创造，感悟合理

首都师范大学王尚志教授曾指出，数学讲逻辑推理，更要讲道理。在怀特海看来，学生是有血有肉的人，教育的目的是为了激发和引导他们的自我发展之路。笔者以为，要让数学规则“讲道理”，就应展现它在当下存在的合理性，使学生从接受规则的奴仆转变为创造规则的主人。在经历“再创造”的过程中，在对规则合理性的辨析感悟中，引发学生的自我发展是数学规则教学的应有之义。

特级教师蔡宏圣执教的“四则混合运算”能带给我们些许启迪。问题一：“信封里3张5元纸币，信封外1个1元硬币，一共有多少元？”基于实际问题，在5×3+1、5×2+5+1、5+5+5+1的比较中，学生体悟到乘法优先计算的快捷性与合理性。问题二：“每碗鱼汤面5元，每个鸡蛋1元，每份早餐里含一碗鱼汤面和1个鸡蛋，3份早餐一共多少元？”思辨算式5+1×3，为避免与上面的运算顺序混淆，创造出小括号的使用，体验到小括号使用是确保计算结果唯一性的必然要求；从生活中的步行——自行车——汽车——火车——飞机，到数学中的数数——加减法——乘除法……体现高阶替代低阶的发展性，与生活的类比使得数学道理浅显易懂。系列教学，学生深刻认识到四则运算规则的求简原则；感悟到数学规则产生于人们解决问题的需要，虽是人为规定，但却是合理的，在规则的形成过程中折射出人类智慧的光芒。

数学规则深刻地反映了数学的规律，而数学规律能深刻地反映万事万物的规律。在规则教学中，整体、个体、本体三重视域分别从宏观、中观、微观三个层面折射出规则形成过程中的思想精神和路径方法，使规则的教学具有广度、深度和温度三重属性。循“规”守“则”，丰富着规则教学的理论意义与实践价值，诠释着从单一走向结构、从感性走向理性、从遵守走向创造的数学教育真谛。▲

参考文献:

[1]杨庆余.小学数学课程教与学[M].北京：高等教育出版社，2004:216.

[2]黄秦安，曹一鸣.数学教育原理——哲学、文化与社会的视角[M].北京：北京师范大学出版社，2010:67.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：6-7.

[4]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014:36.

[5]恩格斯.自然辩证法[M].于光远，等，译.北京：人民出版社，1984:121.

[6]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017:127，141-142.