偏导数在初等数学求切线方程中的应用

钟彩容+刘海鸿

【摘要】在高中数学中，求二次曲线的切线方程是一类重要题型.本文将结合高等数学中隐函数求导的相关知识证明一个公式，并运用该公式求解两个高考题，以体现该方法过程简便、快捷，与常规解题方法相比，更具优越性.

【关键词】二次曲线；切线方程；偏导数

圆锥曲线以切线为背景的问题经常出现在高考题中，这类问题往往运算量大而且计算十分复杂，最终因为时间不够而被考生放弃.为此，本文结合高考实例探索圆锥曲线切线方程的求法，以供参考.

经过二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上一点P（x0，y0）处的切线方程是Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0.

证明过程如下：

证 对方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0两边同时关于x求导数，得到

2Ax+B（y+xy′）+2Cyy′+D+Ey′=0，

即（Bx+2Cy+E）y′=-（2Ax+By+D）.

根据导数的几何意义，曲线经过P（x0，y0）处切线的斜率k应满足关系式：

（Bx0+2Cy0+E）y′=-（2Ax0+By0+D），

即（Bx0+2Cy0+E）（y-y0）=-（2Ax0+By0+D）（x-x0），

整理得2Ax0x+B（x0y+xy0）+Cy0y+D（x0+x）+E（y0+y）=2Ax20+2Bx0y0+2Cy20+2Dx0+2Ey0.

又因为Ax20+Bx0y0+Cy20+Dx0+Ey0+F=0，

所以2Ax0x+B（x0y+xy0）+Cy0y+D（x0+x）+E（y0+y）=-2F，

即Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0.这就是二次曲线的切线方程，称为“四线”一方程，下面通过两个高考题说明该公式的运用.

例1 （2015高考四川，理10）设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2=r2（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）.

A.（1，3）

B.（1，4）

C.（2，3）

D.（2，4）

解析 显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，M（x0，y0），则y21=4x1，y22=4x2， 相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.由于x1≠x2，所以y1+y22·y1-y2x1-x2=2，即ky0=2，即k=2y0.又圓与直线相切，由“四线”一方程得切线方程为：（x-5）（x0-5）+y0y=r2，此时k=5-x0y0，所以2=5-x0，x0=3，即点M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x得y2=12，∴-230）上，所以（x0-5）2+y20=r2，r2=y20+4<12+4=16.又y20+4>4（由于斜率不存在，故y0≠0，所以不取等号），所以4

例2 （2015高考湖北，理21）一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

解析 （Ⅰ）设点D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依题意，MD=2DN，且|DN|=|ON|=1，所以（t-x，-y）=2（x0-t，y0），且（x0-t）2+y20=1，x20+y20=1.

即t-x=2x0-2t，y=-2y0， 且t（t-2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=x4，y0=-y2，代入x20+y20=1，可得x216+y24=1，

即所求的曲线C的方程为x216+y24=1.

（Ⅱ）由题意知，直线l总与曲线C相切，设E（x0，y0），由“四线”一方程得切线方程为：x0x16+y0y4=1，切线与l1：x-2y=0的交点P162y0-x0，82y0-x0；切线与l2：x+2y=0的交点Q-162y0+x0，82y0+x0，又O（0，0），已知三点坐标，则

S△OQP=12162y0-x082y0-x01-162y0+x082y0+x01001=1284y20-x20，

而x2016+y204=1，所以S△OQP=12816-2x20，当x0=0时，S△OQP有最小值为8.

小结 应用该方法可以很快写出圆锥曲线在某点处的切线方程，省去设直线方程、联立方程组并消元、利用判别式Δ=0确定切线斜率的过程，节省时间，减少失误，快速解题.

在解决圆锥曲线问题时，相比常规解法，“四线”一方程思路直接，计算简便，而且与切线的斜率是否存在没有关系，无须分类讨论.平时师生应该探索一些巧妙的解题规律，培养数学思维能力.

【参考文献】

[1]高丰平.三年磨一线：赏析切线在山东高考中的应用[J].中学数学杂志：高中版，2014（9）：62-64.

[2]洪峻金，黄平海.圆锥曲线的切线方程的探究与应用[J].理科考试研究：高中版，2015（11）：8-9.

[3]李惟峰.圆锥曲线切线方程的探索[J].中学教研：数学版，2010（3）：21-24.