例谈二次曲线系方程在解析几何中的应用*

福建省晋江市毓英中学(362251)陈俊艺

解析几何是高中数学的主干知识,也是高考的必考点.可以很好的考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.但由于其综合性强,运算量大,学生遇到题目往往望而生畏.下面主要介绍利用二次曲线系方程来解决解析几何中的一些问题.

1 知识准备

具有某种共同性质的曲线的集合叫做曲线系.一般地,设两条二次曲线的方程为C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0,那么过这两条二次曲线交点的二次曲线系方程为:λf1(x,y)+µf2(x,y)=0,其中λ,µ为参数.

如果所求的二次曲线不是C2自身,也可以把曲线系方程表示为:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.高中常见的二次曲线有:圆,椭圆,双曲线和抛物线.已知两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则二次方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 可以表示直线l1,l2,我们把两相交直线称为退化的二次曲线.

2 应用举例

2.1 求曲线方程

例1(2018年高考全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k >0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(I)求l的方程;

(Ⅱ)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

分析可以从二次曲线系的角度考虑第(Ⅱ)问.但由于直线不是二次曲线,因此需要作稍微变形把二次曲线系方程假设为(x−y−1)(x+y+m)+λ(y2−4x)=0.

解析(I)l的方程为:x−y−1=0.(过程略)

(Ⅱ)设所求的圆的方程为:(x−y−1)(x+y+m)+λ(y2−4x)=0,对比x2项,y2项的系数得:λ−1=1,λ=2.抛物线C:y2=4x的准线方程为:x=−1,把x=−1 代入圆的方程得:y2−(m+1)y+10−2m=0,则Δ=(m+1)2−4(10−2m)=0,解得m=3 或−13,因此所求圆的方程为:x2+y2−6x−4y−3=0 或x2+y2−22x−12y+13=0.

注曲线λf1(x,y)+µf2(x,y)=0 可以表示经过两条曲线交点的所有二次曲线,但前提是f1(x,y)=0,f2(x,y)=0必须为二次曲线,因此在利用二次曲线系方程求解要观察方程的特征.

2.2 定点问题

注利用二次曲线系方程求解定点问题,没有复杂的联立方程并借助韦达定理的解答过程.通过对比相同项的系数,简化了运算.

2.3 定值问题

2.4 四点共圆问题

3 总结提升

上述的几个例题都有涉及几条曲线相交,在解答的过程中可以发现利用二次曲线系解题,实质上就是利用二次曲线方程的一些特征,比如圆的方程中x2项和y2项的系数相等,没有xy项等.来找到引入的参数的关系.或者是比较两个二次多项式的系数来达到解题的目的.这样避免了联立方程和韦达定理.是突破解析几何问题的一种有效策略.