高中数学典型考题和解题思路分析

刘永荣

【摘要】本文简述了高中数学的特点，浅析了当下高中生对典型数学考题的掌握情况，并探析了数学典型考题和解题思路，尤其是函数和导数方向的典型考题和解题思路，以期为高中数学教学提供借鉴.

【关键词】高中数学；典型考题；解题思路

高中数学是高中教学课程的重要学科，其涉及了诸多领域，涵盖了丰富的知识，极具抽象性和复杂性.为提高高中数学教学水平，有必要对高中数学典型考题和解题思路进行分析.

一、高中数学的特点

高中数学具有以下特点：（1）高中数学知识抽象性较强.高中数学知识中，抽象的数学知识内容较多，且具有复杂的逻辑性[1].不同于初中数学知识的具体性，高中数学知识的抽象性增加了学生的理解难度.（2）高中数学具有较大的知识密度.高中数学知识涉及诸多知识领域，具有广阔的知识覆盖面和众多的知识点，知识密度极大.（3）高中数学知识具有较强的独立性.高中数学教材各章节的知识内容，大多具有较强的独立性，各章彼此独立，对学生的多样化思维要求较高.

二、当下高中生对典型考题的掌握情况

高中数学典型考题，涉及较为广泛的知识领域，主要包括函数知识、三角函数知识以及导数知识等[2].考察最近几年的高考数学试卷，对其典型试题进行分析研究并整理汇总，编制成一套包含各种典型数学问题的试卷，重点对函数知识包括函数单调性、周期性规律、三角函数知识包括图像转换和恒等变化规律、数列知识、导数知识，包括其几何意义等进行测试.将该套试卷发给某校500名高三学生，测试结果显示成绩优秀的学生仅占20%，及格学生占50%，不及格学生占30%.分析高三学生对典型考题掌握的具体情况，发现对于函数知识，诸如函数定义域的应用，以及三角函数等知识，学生掌握情况较好.对于导数知识等领域，学生的掌握情况存在欠缺.

三、数学典型考题和解题思路分析

（一）函数方向典型考题和解题思路

通过对学生进行典型考题测试，并分析其统计数据，发现多数高中生对函数知识的掌握情况不甚良好，主要体现在函数的单调性问题以及函数图像问题等方面.对于函数知识中，考查函数的奇偶性及应用的典型问题，要牢固掌握函数奇偶性的规律，并熟练运用方程思想进行求解，在求解过程中，要小心谨慎，避免计算失误.

例1 已知某函数g（x）是偶函数，函数f（x）是奇函数.f（1）+g（-1）=4；f（-1）+g（1）=2，求g（1）.

解题思路 该考题，对函数的奇偶性及其应用进行了考查，对该考题的解答要充分利用函数的奇偶性知识，并灵活运用方程思想，对上述习题中的两个方程进行消除，最终得到答案g（1）=3.

例2 某函数表达式为f（x）=e2+4x-3，求该函数零点所在的区间.

解题思路 对于求解函数零点所在区间的典型习题，通常要考虑以下三种解题思路，分别是函数零点的存在性定理、数形结合思想、方程思想[3].高中生对于此类典型的数学考题，不应局限自己的思维方式，当采用某种解题思路受到阻碍，采用某种解题方法没有效果时，要对数学思维进行灵活的转换.当然，解答此类函数典型考题，基础是牢固掌握函数相关知识，尤其是函数零点存在性定理的相关知识，并在此基础上掌握并灵活运用函数零点解题技巧.巧妙结合数形结合思想和方程思想，形成清晰的解题思路，完美解决此类问题.

（二）导数方向典型考题和解题思路

导数知识是高中数学知识的重要组成部分，也是高中数学知识的一个难点.对高中生进行典型考题测试的统计结果显示，多数高中生缺乏对导数知识的良好掌握，在解答导数方向的典型考题时，往往茫然失措，毫无头绪，无法形成清晰的解题思路.究其原因，在于多数高中生没有良好掌握导数的基本知识，无法在解题中有效应用导数知识.因此，有必要对导数方向的典型考题进行分析，并探究其解题思路.

灵活运用导数知识，能方便快捷地解决导数数学问题.通过导数知识实现对函数单调性的有效判断，牢固掌握导数基础知识，熟练应用导数相关概念，对于强化高中生的数学思维能力，形成清晰的解题思路具有重要的意义.

例3 某函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.（1）求该函数的单调区间.（2）假定该函数在区间-23，-13之内是减函数，求解a的取值范围.

解题思路 对于该典型习题，要灵活运用导函数的数形结合思想，明确f′（x）≤0对于任意的x∈-23，-13 恒成立的区间单调性变化.对该习题第一问的求解，要明确该函数导函数的开口情况，该导函数开口向上，且是二次函数，进而导出Δ=4（a2-3），分别从三种情况来考虑该函数问题，即Δ>0的情况，Δ<0的情况，以及Δ=0的情况.对函数的求解公式进行进一步的转化，取得“x1=-a-a2-33”“x2=-a+a2-33”“-33或者a<-3时，f（x）在（-∞，x1），（x2+∞）上是增函数，在（x1，x2）上是减函数.依据此思路，实现对该类型导数问题的解答.

四、总 结

综上所述，高中数学知识具有较强的抽象性和独立性，其知识点密度较大.对高中学生进行典型考题测试，其统计结果显示，多数高中生对函数和导数知识领域的掌握情况还有待提高.因此，高中数学教师要在教学实践中，巩固学生的函数和导数知识基础，向学生分析函数和导数方向的典型试题和解题思路，实现教学水平的提高.

【参考文献】

[1]曾国元.高中数学典型考题与解题思路研究[J].教育，2016（12）：205.

[2]胡玉静.数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析[D].信阳：信阳师范学院，2015.

[3]苏文婷.高中生对典型数学问题解法的掌握研究[D].烏鲁木齐：新疆师范大学，2016.