学习基本不等式的几个注意点

张春琦

不等式a+b/2≥

（a>0，b>0）在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式以及解决实际问题方面有广泛的应用，其重要性不言而喻。复习阶段，我们需要勤总结、细归纳，下面和大家谈谈需要注意的地方。

1.注意基本不等式适用的条件。

（l）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。

（2）要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足三个求最值的条件“一正，二定，三取等”。

误区分析 错解忽略了“一正”的判断，也就是说要确定考虑的对象（本题中为“x”和“2/x”两者）为正值；若为负，则添加负号来运算。

2.注意基本不等式几个常用变形。

即为两个正数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系（平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）。

3.注意有些不等式中参数的取值范围可以拓展到一切实数。

以上都可以将参数a，b推广到实数集，其证明可以用代数法，也可以用几何法，同学们白行证明。

本题还可以将a，c看作是方程X2+（b-9）X十24-b（9-b）=0的两个根，用判别式大于或等于零就能求出b的取值范围。

若将上题变式为：a+b+c=9，a2十b2+C2=57，求实数b的取值范围。

4.注意维数的拓展，将二元拓展到多元不等式。

由此得到以下两个二元他多元不等式链（其中各变量取正值）：

这与立体几何中长方体的体对角线长、表面积、体积的最值有关。

5.注意不等式的加密拓展。

我们还可以对（*）中的a，b赋值，得到如下一些结论，命制新的考题。

6.感受基本不等式背后的意蕴。

实际上考生答题的情况并不好，为什么呢？因为教材上没有现成的结论，大量的练习也不能解决这类问题，若穷尽所有能够组成三角形的情况计算，费事费力，显然不是好的解法，也有违背命题组的初衷，那么这道题究竟考什么呢？

其实，基本不等式不仅仅是两个平均数的大小比较，应用也不仅仅只是“一正，二定，三取等”求最值，它的本质是两个正数的几何平均数与算术平均数的大小关系，二者相等只是那样一个时刻（当且仅当），从其证明过程不难看出另有意蕴，即当等号不成立时，二者相差多少。

基于此，再去考虑上题，答案就不难得到了：当三角形周长一定时，正三角形的面积最大（注：此結论有多种证法，但用海伦公式与三元基本不等式来证明比较简单），本题虽然不能组成正三角形，但是可以“尽量”地“接近”正三角形，从而使其面积达到最大，该三角形的周长为2十3十4十5十6=20，无论怎样摆布，都不会出现三边相等的情况，但是当三边接近时，面积也应该最大，三边和为20，平均为6.6，故可以选6，7（=2+5），7（=3十4）为三边计算，这种组合显然是三边最接近的情况，答案是6

。无独有偶，2010年高考江苏高考19题是一道数列背景下的求最大值问题，要解这道题，就要用到上述的结论和思想方法，这些知识、方法、思想是隐形的，需要感悟，这种感悟正是来自对教材的深人品读，对解题过程的深入反思，对思想的概括升华。endprint