几何概型的关键“点”

余建国

几何概型中的每个基本事件可以视为从区域D内随机取一点。例如，用剪刀随机剪断一根绳子，断处就是一个点；又如，向一个网盘投掷飞镖，飞镖击中网盘就是一个点；再如，在1L高产小麦种子中混入l粒带麦锈病的种子，可以将这粒种子看成一个点等等，但有些问题中的“点”看起来就不是很明显，或根本就不是点，这样的几何概型如何求解呢？

与本题类似的是“会面问题”，都有两个相互独立的变量，从而将基本事件理解为平面直角坐标系中的点，同学们可以参照求解。

凿例3 在圆O上随机取三点A， B，c，求△ABC是锐角三角形的概率。

分析 三个点随机取，是不是有三个独立的变量，转化为三维空间内取点呢？还有同学说，不能面直径，那就在直径上方先面一条线AB，第3个点C不能在AB上方取，只能在AB下方取，所以概率是1/2。这些解法其实都没有数学的逻辑推理和抽象概括，全凭感觉！

事实上，换一个等价的、且仍然保证“等可能性”的说法：从圆心O出发任意作三条射线，与圆周分别交于A，B，C三点，如图4。由于∠A=1/2∠BOC等，要使△ABC是锐角三角形，当且仅当∠BOC，∠COA，∠AOB都小于丌，而∠BOC十∠COA十∠AOB=2丌，故設两个独立变量，基本事件就转化为点了。

在平面直角坐标系中，面出Ωn，A所对应的平面区域D，d，如图5，其中D指等腰直角三角形，d指阴影部分。所以，P（A）=d的面积/D的面积=1/4。

总结上面三个问题，解决几何概型关键首先要看到“点”，任何基本事件都必须转化为“点”，且保证取点的等可能性；其次，随机事件A的发生可视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，记住是指定区域！如果发现区域“飘忽不定”，可能是变量不够用了，此时应该升维。

这个“点”可能是实实在在的点，如飞镖的落点、绳子的断点、到达车站的时间点等，也有可能是我们为了等可能性而构造出来的点，而不是题目条件中的几何点，总之，要抓住几何概型的关键“点”。endprint