设点还是设斜率

徐萍

已知什么？点（2，1），点P是AB的中点，这是关键词。

怎么运用“P是AB的中点”？利用中点公式：

怎么求出A，B的坐标呢？它们是直线与直线的交点，可以联立直线，构建方程组，但是直线ι的方程不知道。

已知一個点，选择点斜式表示直线方程，就需要设直线ι的斜率为k，当然设斜率为k之前，必须先说明斜率不存在时的情况。

当条件中已知一个点，大家选择点斜式表示直线方程，那就要根据条件列出方程求斜率。

再思考下，还有其他做法吗？确定直线，除了一个点加斜率，还可以找两个点，可以设点A，B的坐标，列出两个方程。设直线ι与直线y=x+2的交点A为（x1，x1十2），与直线y=-x十2的交点B为（x2，2-x2），则

当然也可以只设一个未知数，用A表示出B，再利用B在直线上，列出一个方程，设直线ι与直线y=x十2的交点A为（x0，x0十2），则直线ι与直线y=-x+2的交点B为（4-x0，-x0），又交点B在直线y =-x+2上，则-x0=-（4-x0）+2，得x0=1，点A坐标知道了，直线方程就可迎刃而解。

对于例题，所求直线的几何性质对解题没有明显直观的帮助作用，只能选择代数办法。而根据条件选择直线方程形式的时候，显然应选择点斜式，这种解法其实就是将题目中的条件按序翻译成代数语言，直至问题解决！

变式2 过点P（-1，2）的直线ι与x轴，y轴分别交于A，B两点，若点P为AB的中点，求直线ι的方程。

这道变式题的关键是刻画中点，可以设截距（也就是设点），也可以设斜率确定方程求出截距，再列出方程！当然还可以直接求出截距！这道题目选择两点式、截距式、斜截式、点斜式都成！

这道题目已知直线上的一个点，要求的是直线方程。这时需要思考的是，是设斜率呢，还是设点？我们可以稍微权衡下，哪种做法比较简单，能迅速地解决问题。

如果设斜率，那么先考虑直线斜率不存在时，看是否符合题意；再当直线斜率存在时，设为k，直线方程为y=k（x十4）。

怎么刻画点A是PB的中点呢？利用中点公式可以得到点A，P，B三点之间坐标的关系，记作（*）式。

点A的坐标怎么求？联列直线和圆的程的根，代入（*），构建关于k的方程。

当然了，选择这样的思路，还可以设A为（x1，yl），B为（x2，y2），借助于韦达定理与（*）式，去求出k的值。

不着急动笔做，再想想其他思路。

如果设点，比如设A为（x1，yl），两个未知量，需要两个方程，一个方程是A满足圆的方程；还有一个就是利用点A是PB的中点，用x1与y1表示出B点的坐标，代入圆的方程，构建第二个方程。解方程组，求出A的坐标，从而得到直线方程。

有了思路，问问自己，这两种做法中，你会选择哪一个呢？理由呢？当然，这道题还可以借助网的几何特征来做，过圆心做直线的垂线，构建两个直角三角形，利用勾股定理，求出圆心到直线的距离，再由直线方程y=k（x+4），求出斜率k。说到底，还是设斜率，只不过利用几何特征得到关于k的方程！

直线中，当只给定一个点时，要去求直线方程时，可以设直线的斜率，也可以设直线上的一个点，根据条件，列出方程（组）。一般来说，不管哪个思路都是可行的，大家需要做的，就是去选择最适合的方法！endprint