坚持梳理，系统理解

黄煜霖

匆匆地，两年里我们如那奔驰的动车，从函数开始，一路不停地学完了高中数学所有新授课程。回眸过去，一叠叠厚重的学案与试卷，凝聚着我们两年的辛勤。两年里，我们的数学知识不断累积、数学经验不断丰富、数学素养不断提升，数学让我们不断成长。然而，两年的学习是局部的、基础性的，高三的复习才是真正的考验。如何才能在一轮复习中跟上老师的节奏、完成自我的蜕变呢？“凡事预则立，不预则废。”本文在请教老师和学长的基础上，结合我们最近学习的《导数》单元，初步阐释一下高三一轮复习中如何“坚持梳理，系统理解”。

导数的学习是高中的难点，相应的考题在高考中往往是处在压轴题的位置，其涉及的知识比较广泛，对技能和经验要求比较高，常常与函数、方程、不等式以及图象、零点等结合，能够覆盖整个代数的学习，但这些考点之间也存在着内在的联系和清晰的逻辑。

1.连点成线

对一个单元的学习，我们首先要掌握其中的概念。导数部分的概念比较多：导数的概念、函数的单调性、函数的极值、函数的最值等。将每个概念看成一个个的点，而抓住概念之间存在的联系，就可以将点连成线，在这些概念中“极值、极值点的含义”比较复杂：

一般地，已知函数f（x），设x1是定义域内一点，如果在x1附近的所有x，都有分f（x1）>f（x）（f（x1）

如果仅从定义的表面看，其与“导数”没有太大关系，但如果结合相应的图象理解，“极值点”就是函数增、减性改变的点，则函数极值与导数的关系如下：

单调性与极值存在着联系，研究函数的极值，先要研究函数的单调性。我们再来看一看函数在定义域上的最大值、最小值的概念：

函数的最大（小）值是相对于函数定义域整体而言的，如果存在最大（小）值，那么它是唯一的。所以，从概念表面上看，“函数在定义域上的最大值、最小值”与导数没有关系。但如果我们这样理解：函数y=f（x）在区间[a，b]上，如果存在极大（小）值，则将极大（小）值和f（a）、f（b）进行比较，得到y=f（x）在区间[a，b]上的最大（小）值；如果不存在极大（小）值，则只要将f（a），f（b）进行比较，得到y=f（x）在区间[a，b]上的最大（小）值。由此可见，导数、单调性、极值、最值这些概念之间具有内在的联系，可以形成一条清晰的线路，如下图：

2.合线成面

运用导数的方法研究函数的性质，其核心是研究函数的单调性。这是因为如果知道函数的单调性，我们就可以画出它的草图，结合图象可观察函数的“极值”，进而可求“最值”、“值域”，也可处理“函数的零点”、“不等式恒成立”、“方程有解问题”等问题，判断函数的单调性是运用导数的方法研究函数性质的基石。问题是如何才能准确地处理所有单调性相关问题呢？我们可以采用“合线成面”的复习模式。

分析：对其中的a，△进行讨论，共分四种情况，我们分别作出其导函数和函数的草图（图l-图4）。

结合这些图象，所有三次多项式函数的单调性一目了然，这里强调的是：当△>0时，宜将f（x）因式分解，写成两根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2），这样处理不仅可以快捷地作图，而且能直观地判断导函数的符号。

其次，我们要进一步厘清关于单调性的几种表达，举个例子让大家辨别理解一下：

对于函数f（x）=x3-ax2十1.（1）若函数f（x）的减区间为（0，2），求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，2）内单调递减，求实数a的取值范围。

我们首先要思考的问题是：题目中两问有何区别？函数f（x）在区间（0，2）内单调递减，那么区间（0，2）与函数减区间有何关系？

本质上看，问题l是“已知f（x）的单调减区间”，而“求函数的单调减区间”是通过在定义域内解不等式“f（x）<0”得到，所以，“已知f（x）的单调减区间，求参数的值”应该化归为“已知不等式f（x）<0的解集，求参数的值”；问题2是“已知f（x）的单调性，求参数的范围”，事实上，“函数f（x）的减区间为（0，2）”能够推出“函数f（x）在区间（0，2）内单调递减”，但“函数f（x）在区间（0，2）内单调递减”不能够推出“函数f（x）的减区间为（0，2）”。所以，区间（0，2）是函数f（x）减区间的一个子集。具体解答如下：

复习时，我们在辨别的基础上，可将相关知识“合线成面”，与单调性有关的求参数取值范围的问题（例如：已知f（x）在区间[a，b]上为增函数，求k的范围）的基本求解策略：

3.融面成体

在一个个概念“连点成线”，一个个知识点“合线成面”的基础上，我们还要学会将这些“线”和“面”与其他关联知识进行融合。“融面成体”，完善自己的知识体系，例如，我们可以用导数的知识来处理“零点”问题：

点评 “函数的零点”本质上是“方程的根”，求函数g（x）=f（x）+a的零点问题，我们可以将之转化为求方程“f（x）=-a”的根，“数形结合”，即观察函数y=f（x）与直线y=-a交点的情况，进而转化为求“函数y=f（x）的极值”问题。

类似的融合还很多，比如一些不等式的证明，常常与函数的单调性融合起来。因为，函数的单调性的定义就是由不等式表达的，用导数判断单调性也是由不等式来计算的。所以，处理一些不等式的证明问题常常通过构造函数，利用函数的单调性来证明，仅举一例已说明。