在变式教学中提升中学数学的学科魅力

福建省清流县实验中学 伍红英

一、在概念教学中变式，提升学生的概括思维能力

概念教学比较枯燥、单调，许多老师都比较困恼，不爱上概念教学课，学生也不爱听概念课。对于数学概念来说，本身定义的理解很重要，更重要的是揭示它的内涵与外延，这又比较抽象，老师很难解释清楚，一旦不清楚，学生思维就产生混乱而失去兴趣。

比如，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。就这么长的一段话阐述了函数的概念，那么我们怎么样才能解释y是x的函数？对函数概念中唯一性的理解很重要。如果老师让学生一直从字面上进行理解或单调重复的朗读概念，学生肯定越来越糊涂，直到下课也不知道什么是函数？此时，老师可以做如下变式：

一方面从解析式的角度入手

（1）y=x时，y是x的函数吗？为什么？

（2）y=x2时，y是x的函数吗？为什么？

（3）y=x2+1时，y是x的函数吗？为什么？

（4）y2=x2时，y是x的函数吗？为什么？

另一方面从图像的角度入手

下列图像不能表示y是x的函数的是()

上面的问题呈现了式子的变式与图像的变化，在变化中既有一定的相同或相似，又有一定的变异成份，学生很容易抓住函数概念中本质的东西进行理解，又能恰到好处激起学生的探究兴趣。教师在概念教学时能这样深入去解读教材，设计合理的变式教学,会更有利于学生形成正确、清晰、完整的数学概念。

二、在公式和定理教学中变式，提升学生多向变通的思维能力

公式、定理是数学知识中的重要内容，它们是解决数学问题的重要理论基础，如果对公式、定理的理解只停留于机械的文字背诵，就会造成简单的题出错，难题又不会做。比如，在教学不等式的性质2与性质3时，学生类比等式的性质进行学习，对于性质的文字内容比较容易就记下来，但是在实际解题中错误率往往很高。如果教师能在教学中做好变式，效果就决然相反，例如：

（1）若 3a＞3b，则 a___b

（2）若 a＞b，则 -a___-b

（3）若 a＞0，则 3a___4a

（4）若（a-1）x＞a-1，则 x___1

由正数到负数，由数字到字母，由单项式到多项式，不断的变式、引申、层层深入，解题由简单到复杂，思维由窄变宽，同时渗透分类思想。在老师的指引下，学生对数学问题进行了深入的思考和探究，从而帮助学生辨析公式、定理，进一步提高学生应用公式、定理进行数学的推理、论证和演算的能力，也培养了学生多向变通的思维能力。

三、在习题教学中变式，提升学生灵活解决问题的能力

在多年教学中，发现不少学生思维定势严重，解题时思考不到位，一脸茫然。如果在习题教学中，注重对习题进行变式，既可以减轻学生的负担，避免“题海战术”，又可以使学生的思维能力、分析能力、解题能力等多方面得到训练与提高。

1.一题多变。

通过一题多变，让学生明白解题不是为了解决一个问题，目的是解决一类问题，从长远角度来看，坚持一题多变训练，可以开拓学生的解题思路，培养学生的发散思维，利于学生的终身发展。

在教学根据不等式组的解集确定字母的值的例题中，可以做如下变式训练：

上面几题都要解不等式组，通过求不等式组的解集，找到字母的取值范围，不改变这个问题的本质，而不断变换问题的形式让学生来解决，在解决问题过程中让学生体会到它们之间的联系与区别，从而得到这一类型问题的解决方法，这样在一定程度上克服了思维僵化，减少了思维惰性，以后遇到这类问题就有信心去思考和解决，还帮助学生树立了学习的自信心。

2.多题一解。

很多数学习题表面上看似不同，但它们的内在本质是一样的，如果教师在教学中注重对这类题目的收集、整合，再展示给学生，引导学生寻求通法通解，会有利于提升学生解决问题的能力。

例如，如图（1）所示，要在街道旁修建一个自来水站，向居民区A、B输送自来水，水站应建在什么地方，才能使所用的输水管道最短．

变式 1：如图（2），两点 A（0，2），B（6，6），点P是x轴上的一点，求PA+PB的最小值_____。

变式：2：如图（3），在正方形 ABCD中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=6，P 是 AC上一动点，则PB+PE的最小值是_____.

图（1）

图（2）

图（3）

图（4）

变式 3：如图（4），四边形 OABC 为正方形，边长为4，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是 OB 上的一动点，则 PD+PA的最小值是______。

这几道题都是用“两点之间线段最短”这一基本知识来解决，这句话学生们非常熟悉，但是用它来解决问题时，学生却不知从何入手。教师如果能通过上面几题的变式，引导学生进行解答，学生会很顺利的掌握这一类型题目的求解方法。让学生觉得原来比较困难的题目，现在很容易就学会了，从而激发了学生学习数学的兴趣。

3.一题多解。

一题多解就是让学生从不同的角度思考，运用不同的知识和方法解决同一个问题，坚持做这样的训练能激发学生的潜能，提高学生解决问题的能力。

例如，甲、乙两人骑自行车分别从相距100千米的A、B两地相向而行，如果他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S(km)都是骑车时间t(h)的一次函数，1 h后乙距A地80千米，2 h后甲距A地30千米.问经过多长时间两人相遇？

解：V甲=15千米/每小时，V乙=20千米/每小时

方法一：列算式，100÷（15+20）

方法二：列一元一次方程，设经过x小时相遇，则20x+15x=100

方法三：图像法，对于乙：当t=0时，S=100；当t=1时，S=80，所以直线经过（0，100）和（1，80）两点.对于甲：当 t=0时，S=0；当t=1时，S=30.所以直线经过（0，0）和（2，30）两点，画出图像找到交点求解。

方法四：根据函数图像确定甲、乙的函数表达式，联立两个表达式，再求解方程组的解即可。

方法五：根据实际意义，甲离A地的距离实际上就是甲行走的路程，即S=15t，乙离A地的距离实际就是乙剩下的路程，即S=100—20t，再联立成二元一次方程组求解.

这个例题展示了列算式法、列一元一次方程法、图像法、列一次函数关系式法、列二元一次方程组法，让学生从不同的角度思考问题、解决问题，使学生感受到原来数学问题可以有这么多种解决方法，激发出强烈的求知欲望。

变式教学让数学有了思维的亮度，又有了思维的高度。所以数学教学中教师要不断学习、不断总结、不断完善，精心设计、合理使用变式教学，让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，从而进一步发展学生灵活解决问题的能力。

[1]刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养.

[2]北师大版初中数学教材.