高中数学核心素养的培养*——以“从同心圆到同心圆锥曲线”为例

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(北京师范大学贵阳附属中学,贵州 贵阳 550081)

●胡典顺

(华中师范大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430079)

近年来，“核心素养”已经成为教育界的重要议题，而且引领了课程教材改革以及教学方式改革等等.数学核心素养的本质，是描述一个人经过数学教育后应当具有的数学特质，大体上可分为“三会”，即：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界[1].那如何培养高中生的数学核心素养呢？笔者以“从同心圆到同心圆锥曲线”为例，谈谈数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养的培养.

1 类比同心圆的概念，抽象出同心圆锥曲线的概念，培养数学抽象素养

同心圆是两个圆心重合而半径不等的圆，它有很多典型的性质和优美的结论.类比到圆锥曲线，如果两条圆锥曲线有着公共的焦点F，且与F对应的准线f也是公共的，那么这样的圆锥曲线与同心圆是否具有相似的性质呢？首先，我们类比同心圆的概念，给出这类圆锥曲线的概念.

定义设两条圆锥曲线有着公共的焦点F，且与F对应的准线f也是公共的，则称这两条圆锥曲线为同心圆锥曲线.

设椭圆和抛物线有着公共的焦点F，且与F对应的准线f也是公共的，则称这样的椭圆和抛物线为同心圆锥曲线.

2 类比同心圆的性质，验证同心圆锥曲线的性质，培养直观想象素养

本文讨论的是椭圆和抛物线为同心圆锥曲线的情形.通过类比同心圆的性质，然后借助超级画板进行验证，从而得到同心圆锥曲线的优美性质.

图1

命题1如图1，设⊙Γ1和⊙Γ2是同心圆，公共圆心为O,过⊙Γ2上一点A作⊙Γ1的两条切线，切点为M,N，那么

1) ∠MON为定值；

2)OA平分∠MON.

上述两个结论类比到同心圆锥曲线，可得到：

命题2如图2，设椭圆和抛物线为同心圆锥曲线，F和f分别为它们的公共焦点和对应的公共准线，过抛物线上一点A作椭圆的两条切线，切点为M,N，那么

1)FA平分∠MFN；

2)∠MFN为定值.

图2 图3

利用超级画板验证，如图3.

通过超级画板探究发现：当点A在抛物线上运动时，∠MFN的大小始终没有变，为一个定值，而且∠AFM=∠AFN.

3 建立直角坐标系，合理选择标准方程，培养数学建模素养

建立平面直角坐标系.如果设抛物线方程为标准方程，那么可得到椭圆的焦点和准线，但这时椭圆不是标准方程，此时已知它的焦点和准线，如何求出它的标准方程呢？笔者做了尝试，发现不易求出椭圆的标准方程，因此应该设椭圆方程为标准方程.

图4

化简得

即

消去x，得

消去y，得

4 分析问题，探寻问题解决的策略，培养逻辑推理素养

如何证明FA平分∠MFN呢？有两种解决方案:

方案1证明∠AFN=∠AFM,考虑向量的夹角公式，得

∠AFN=∠AFM⟺cos∠AFN=cos∠AFM⟺

方案2证明射线FA上的点到∠MFN两边的距离相等.可取这一点为A(x0,y0)，直线FM的方程为

即

y1x-(x1+c)y+c(x1+y1)+c2=0.

同理可得,直线FN的方程为

y2x-(x2+c)y+c(x2+y2)+c2=0,

从而

∠AFN=∠AFM，

此时，遇到了与方案1同样的困难,即很难证明上式成立，这说明这两种方案在理论上行得通，但在实际操作中难以实施，遇到了数学运算上的困难.那如何绕过这个困难，找到解决问题的方案呢？

著名数学教育家波利亚告诉我们：解题需要找出已知数据与未知数据之间的联系.如果找不到直接的联系，就不得不考虑辅助题目.思考：你能找到一道与命题2有关的题目吗？这里有一道题目和命题2有关而且以前做过，你能利用它吗？

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

(2003年全国数学高考新课程卷第4题)

5 合理选择运算方法，培养数学运算素养

数学运算素养包括理解运算对象、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等等.对于命题2而言，合理选择运算方法最为重要，选对了运算方法，就可以简化运算，缩短解题的长度，提高解题的效率.

下面证明式(1)成立:

将式(2)和式(3)代入式(1)，得式(1)等价于

即

上式显然成立，因此式(1)成立，故FA平分∠MFN.

2)要证明∠MFN为定值，需要将它用坐标来表示，因此选用夹角公式求cos∠MFN的值比较合理，即

其中e为椭圆的离心率.下面证明式(4)是定值:

x1x2+c(x1+x2)+y1y2+c2=

将式(5)和式(6)代入式(4)，得

故∠MFN为定值.

6 结束语

数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法等密切相关[2].数学核心素养是数学基本思想在学习某一个或几个领域内容中的具体表现.数学思想方法则是体现如何从操作层面上实现数学核心素养和体现数学基本思想方法.数学核心素养对于理解数学学科的本质、设计数学教学以及开展数学评价等有着重要的意义和价值[3].

对于高中数学核心素养，应该建立起核心素养与数学教学内容的关联，创设合适的数学情景，提出合适的数学问题，启发学生独立思考，使学生在掌握数学技能的同时，感受数学本质，从而积累数学思维和实践经验，形成和发展数学核心素养.

[1] 马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015,35(9)：36-39.

[2] 陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016(8)：34-36.

[3] 张岚.基于数学核心素养的解析几何教学——谈数学运算能力的提升[J].中学教研(数学)，2017(5)：27-30.