“圆”来很完美——“圆”复习课教学设计及思考

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(金牛学校,安徽 合肥 231253)

“圆”来很完美
——“圆”复习课教学设计及思考

●陶训生刘钰

(金牛学校,安徽 合肥 231253)

“圆”的复习课，一方面是对“圆”这一部分知识进行复习，对相关知识点进行串讲；另一方面通过复习，对知识进行整合、再思考，通过创设问题情境，选取典型例题，达到训练学生数学思维能力的教学目标.

整合；数学素养；完美；提炼方法

近期，笔者应邀参加了由安徽省合肥市初中数学培训基地组织的送培送教活动，笔者和数学教研组长及培训基地教师培训团队专家组成员刘钰老师共同设计、打磨了一节“‘圆’来很完美”的课.一方面是对“圆”这一部分知识进行复习，对相关知识点进行串讲，另一方面通过复习，对知识进行整合、再思考，通过创设问题情境，选取典型例题，达到训练学生数学思维能力的教学目标，同时也期望对受训青年教师的复习课教学有所启迪.

1 教学内容的确定及前期思考

基于本次活动的背景：1)中考第一轮复习已近尾声，“圆”这一章复习课是几何部分复习的最后一节课.我们知道，圆可以说是3个学段中几何知识的一个总结，本章中出现的定义、定理等较多，同时在解决问题时涉及的定理也多.2)初中阶段的数学教学，应注重培养学生的思维能力，努力提高学生的数学素养.一方面我们要以教材为本，多用教材、用好教材、深究教材，为学生提供学习主题、基本线索和知识结构，实现课程目标;另一方面教师要时刻站在教材中知识的制高点,引领学生学会思考，用最简单的知识和方法，解决较复杂的问题.3)针对目前农村的教学环境：受城市化运动的影响，学校的生源锐减，生源质量参差不齐，从而造成教师职业倦怠，不善于思考、总结，更谈不上教学研究，上复习课更是流于形式：教师与学生复述定理，最后是课本复习题讲解.

2 教学过程及分析

2.1 新课导入，引出课题

以下是教师的课堂教学片断：

同学们，圆是我们初中阶段唯一学习过的曲线图形，它和之前所学的直线图形是不相同的，今天我们将再次走进圆的世界，欣赏圆的美.

大家都知道圆指的是圆周而并不是整个圆面，圆周上有无数个点，可以把圆看作是这无数个点所组成的集合.圆周上的每一个点到圆心的距离都相等.因此，我们得到圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径.这是圆的第一种定义，圆还有第二种定义：圆可以看作是线段绕着它的一个端点旋转一周所形成的封闭图形.

介绍完圆的定义以后，下面来研究圆的性质.同学们看老师手中的圆(出示教具)，圆是不是很美观，同学们知不知道它为什么这么美观吗？因为大家都知道，我们中国人讲究对称美，而圆就集所有的对称于一身.我们将这个圆沿着中间的这条线对折，会发现圆具有轴对称性，它的对称轴是经过圆心的每一条直线(注意是直线).如果我们将圆绕着它的圆心旋转任意角度，它都能和原来的图形重合，那么圆还是旋转对称图形.有的同学说是中心对称图形也可以，中心对称图形是旋转对称图形的一种特例，它集所有的对称美于一身，这是圆的对称性，那么圆还有哪些性质呢？圆的性质特别的多，下面我们一个一个来回顾.

说明由于是借班上课，学生和教师之间彼此都比较陌生，主要表现在：学生的知识掌握程度、每个学生上课时的表现(尽管在上课之前笔者利用课间和班级的部分学生进行了互动以及与原授课教师进行了沟通，但笔者心中没有底)；学生对新授课教师的上课方式、方法不了解，学生是否能接受、是否能配合更是无从知晓，因此新课的导入就显得非常重要了.笔者通过不到两分钟的激情讲解，力求达到两个目标：1)拉近和学生之间的距离，从一个“走进圆的世界，欣赏圆的美”这个全新的角度引出本节课的内容；2)让学生在笔者的讲解中获得数学教育.从实际教学效果来看，收效不错.

2.2 师生互动，复习回顾

师：首先大家都知道，圆是一个点的集合，圆周上有无数个点，不妨在圆周上取一点P(如图1)，根据圆周上的这一点P，你能想到圆的哪些知识.

图1 图2

生1:联结圆心O与点P可以得到半径.

生2:知道了半径可以计算圆的周长和面积.

师：如果在圆周上任意取两个点A,P(如图2)，那么现在你又可以联想到圆的哪些知识呢？

生3：把这两个点联结起来我们可以联想到圆的弦.

生4:可以联想到弧，圆上两个点之间的线段叫做弦，圆上两个点之间的曲线叫做弧.

生5:当弦经过圆心时就是直径，直径是弦，但弦不一定是直径.

生6:弧可以分成优弧和劣弧.

生7:过圆心作弦的垂线段,可以得到弦心距，弦心距的平方加上弦的一半的平方等于半径的平方.

生8:把这两个点分别与圆心O联结起来可以得到圆心角，圆心角的大小即所对弧的度数.

生9:由圆心角我又想到了圆周角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，90°的圆周角所对的弦是直径.

师：同学们，如图3，根据圆上任意3个点你可以联想到圆的哪些性质呢？

生10:联结这3个点我想到了圆的内接三角形，这个圆是三角形的外接圆，圆心是外心.

师(追问)：外心是什么的交点？

生11:外心是三角形3条边垂直平分线的交点，外心到三角形3个顶点的距离相等，都等于半径的长.

师：除了外心，我们还学习过哪些“心”？

生12：内心：圆的内切圆的圆心是三角形3个内角平分线的交点，内心到三角形3条边的距离相等.重心：3条中线的交点.垂心：3条高线的交点.

师：由内切圆你还能想到哪些知识?

生13：任意一个三角形的内切圆半径都等于这个三角形面积的2倍除以周长，如果这个三角形是直角三角形，它还有一种特殊的求法即内切圆半径等于两直角边的和减去斜边再除以2.

图3 图4

师：同学们，如图4，如果在圆上任意取4个点，你又能想到圆的哪些知识呢？

生14：可以联想到圆的内接四边形，对角互补，每一个外角都等于它的内对角.

生15：如果把这4个点两两交叉相连，可以联想到相交弦定理.

师:很好，我们刚才复习回顾了圆上1～4个点的情形，那么有的点它可能在圆外，如果老师在圆外取一点，你又能联想到圆的哪些知识呢？

生16：可以想到过这个点与圆有两条切线，可以知切线，连半径，得垂直.

师:如何证明一条线是切线呢？

图5 图6

生17：分两种情况：1)给了与圆的交点可以连半径，证垂直(如图5);2)没有给交点可以作垂直证半径(如图6).

图7

生18：还有切割线定理PT2=PA·PB(如图7).

师：掌握了这些知识，对我们解题有非常重要的帮助.到这里我们系统地复习了一遍圆的知识，有些同学可能还有一些遗忘，希望同学们回去之后再抓紧复习一遍，搞清楚知识的脉络框架.

说明这个部分是对整章知识的一个全面回顾，力求改变那种流水账式的复习样式，即逐个回顾相关知识点，而是采用了以圆为载体、以几何构图的原始要素——点的个数变化为抓手，启发学生去联想：一个点→半径→可以计算圆的周长及面积；两个点→直径、弦、优弧、劣弧等；3个点→圆的内接三角形、三角形的外接圆、内心及外心等；4个点→圆的内接四边形、相交弦定理等；当在圆外取一点时→切线、切割线定理.值得一提的是，学生能联想到“相交弦定理”“切割线定理”，这说明授课教师在平时教学时把《课程标准》中不作要求的内容也告诉了学生，特别是“切割线定理”，这可是删除的内容.如果以《课程标准(2011年版)》的刚性标准来衡量，的确有“超标”之嫌，笔者认为在平时上课时还是应该以课本为本，如果学生基础比较好的话，在复习时可以适当补充.

2.3 探索发现，深化提高

例1如图8所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠BAC=20°，∠CAD=80°，则∠BDC=______°，∠DBE=______°.

分析看到这道题目，可能有学生会感到疑惑：今天不是复习圆的知识吗？而这题却好像是关于三角形和四边形的，那么这道题目里面到底有没有隐藏着圆呢？

图8 图9

本题表面上与圆无关，但由条件AB=AC=AD知，可以以点A为圆心、AB为半径构造辅助圆(如图9)，这样用圆心角和圆周角的知识来解决本题就很简单了.

小结当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常可以以这个端点为圆心、等线段的长为半径构造辅助圆.

例2如图10，矩形ABCG与矩形CDEF全等，并且AB=1,BC=3,点B,C,D在同一直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

图10 图11

分析∠APE为直角,我们可以把∠APE想象成直径所对的圆周角，以AE为直径构造辅助圆(如图11)，很明显⊙O与BD有两个交点，即满足条件的点P有2个.

小结当遇到有直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆.

说明这两道例题的共同特点就是从题目的表面上看不出圆的身影，因此如何引出用圆的知识来解决问题是完成这两道题教学的关键.对于例1，入手点是题中的条件“AB=AC=AD”，依据是圆的定义；例2则是从“∠APE为直角”出发，联想到“直径所对的圆周角”进而得出以AE为直径作圆.例1和例2为学生提供了两类能利用辅助圆方法来解答的题目特征.

2.4 巩固方法，拓展提高

例3如图12，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB′F，联结B′D，则B′D的最小值是______.

图12 图13

例4如图13，在△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为______.

说明学以致用，本环节选编的两道求线段长度最小值的习题，探究性强，思维要求较高，题目的表征看似更复杂.对于例3：因为EB与EB′是对称的，所以EB=EB′，可以以点E为圆心、EB为半径作圆(如图14)，F是主动点，B′是从动点，B′的轨迹就是我们所画的圆，联结B′D，当点E,B′,D共线时，B′D最短.例4是2016年安徽省数学中考选择题的压轴题，思考路径是：第一步证明∠P=90°，第二步以AB为直径构造圆(如图15)，联结CO，点P的运动轨迹是圆，当点O,P,C共线时，线段CP的长取得最小值[1].例3和例4练习构造辅助圆的方法和前面的两道例题刚好配套：1)利用等长线段构造圆;2)利用直角构造圆.其目的是让学生更好地掌握本节课的核心：解题通法.

图14 图15

2.5 反思总结，提炼收获

构造圆的条件：1)从一个端点出发引几条等长的线段；2)出现了90°的角.本节课研究的这两类问题表面上似乎与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆心的有关性质来解决问题，往往能起到“化隐为显，化难为易”的解题效果.

本节课也是我们复习课的最后一节课，希望同学们在中考的时候能够做到“图中无圆，心中有圆”，今天的课就上到这里，希望同学们像圆一样给自己初中三年的学习生活画上一个圆满的句号，谢谢大家.

说明课堂小结是一节课学习的升华和深化，是非常重要的一个环节.课堂小结，并不是单一知识点的罗列，而是应从数学思想方法获取、技能提升、能力发展、学习习惯培养、学习方法的改进等方面进行梳理.教学生学习数学，感悟数学的真谛，更要寻机对学生进行思想教育.寥寥数语，不但感染了听课的全体学生，也使听课教师受到极大震动.

2.6 练习巩固，强化理解完美收官(略)

3 教后反思

《课程标准(2011年版)》明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能[2].数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力.本节复习课除了要把和圆相关的知识点串联起来，并使之系统化、条理化、网络化，便于储存、提取和应用，还有对那些表面上看似与圆无关却可以用圆的知识来解决的问题进行了总结、提炼、归类[3].

[1] 疏忠良.图中无圆，心中有圆[J].中小学数学,2017(3)：26-28.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社,2012.

[3] 韩磊.“正弦定理”的教学设计、实践及反思[J].中学教研(数学),2017(7):27-29.

收文日期：2017-11-16；

2017-12-17

陶训生(1982-)，男，安徽合肥人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2018)03-0020-04