展现规律的生成 抓住问题的本质——2017年高中数学课堂教学评比活动课例及反思

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(安吉县高级中学,浙江 安吉 313300)

展现规律的生成抓住问题的本质
——2017年高中数学课堂教学评比活动课例及反思

●魏侹路

(安吉县高级中学,浙江 安吉 313300)

“如何在复习教学中揭示数学问题的本质，使学生理解及应用数学思想方法”是值得每位数学教师思考的问题．文章以一道浙江省数学学考试题为素材，设计了一节以揭示内在规律为目标、以学生主体探究为过程的课例．

规律生成;问题本质;变化;不变量

1 课例设计准备

1.1 课例背景

2017年高中数学课堂教学评比活动的课题为“基于数学问题本质的揭示与数学思想方法理解及应用的复习教学设计”，并且规定以浙江省2014—2017年学考中的解析几何题为例．

根据课题，本次教学设计应当关注两个方面：1)如何揭示数学问题的本质．解析几何题在学考中处于倒数第二题的位置，对于学生来说难度不低．笔者所参赛的B组所面对的学生水平并不是太高．在这样的背景下，起点设置应该低一些，最终结论不应难度过高，更重要的是一定要注意问题生成、揭示的过程，注重逻辑思维过程的逐步深入，不可一蹴而就．2)注意基本思想方法的理解应用．解析几何中的基本思想就是数形结合，基本方法就是坐标法，以及具体计算过程中的设而不求．这些都应该在具体题目的解决过程中让学生反复体会并运用．

图1

例1已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1)．

1)求抛物线C的方程；

2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于两个不同的点M，N(点M，N与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．

(2017年4月浙江省数学学考试题第24题)

1.2 问题预设

如果深入思考：k1k2这个定值与什么有关，改变相关条件还能得出定值的结论吗？其实不难猜想可能与点A，P的坐标有关，“如何通过问题的设置，引导学生发现它们之间的内在联系，抓住变化问题中的不变关系”应当是本堂课设计的核心．

1.3 目标定位

本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循自然生成的规律，使学生在教学过程中感受数形结合的数学思想，进一步理解并运用坐标法解决解析几何问题．同时，体会从特殊到一般、先猜后证、类比推理等逻辑思考方法．具体表现在：

1)教学过程中坚持学生为主体，包括计算方法的选取与比较、计算过程的具体展示均尽量由学生完成，教师适当点评，杜绝教师一手包办；

2)借助几何画板这一软件，让学生从简单图形入手，通过不断观察图形的细微变化、条件和结论的变化，经历从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象、从猜想到论证的过程，使学生逐步深入问题的核心.

2 课例展示过程

2.1 创设情景，引出课题

(课前播放一段浙江省安吉县的宣传片，引出本节课的主题.)

师：同学们好，本人来自美丽的竹乡安吉.刚才大家看到的是安吉县的宣传片.不知道有没有去过的同学？在安吉，不论你身处何处，都可以看到美丽的自然风景和乡村风貌.而且，无论今后安吉的城市发展如何变化，我们始终坚持生态立县的发展战略.如果大家细心观察，我们的生活中存在许多这样变与不变的关系.同样，在我们的解析几何当中也存在许多变与不变的关系，这就是我们今天将要一起探究的主题.

设计意图优美的画面和音乐吸引学生注意力，形成了良好的氛围，同时引出本节课的主题．

图2

2.2 观察图形，初步认知

问题1如图2，从抛物线y2=x的顶点O作两条相互垂直的直线，与抛物线分别交于点M，N，所构成的△OMN唯一吗？

生(齐)：不唯一.

师：那请大家动手画一画，并观察△OMN在变化的过程中有没有不变的元素？

(学生作图感知之后，教师借助几何画板展示.)

生1：一条边MN经过定点，而且这个定点好像是(1,0).

师：这个结论我们是从几何图形中观察得到的，那么如何从代数上给出证明呢？

设计意图从简单图形入手，由形到数，使学生直观感知变化中的不变元素，并运用解析几何的基本方法——坐标法来解决问题．

师：首先我们考虑如何设出直线方程．

生2：可以设成y=kx+b．

师：设成斜截式方程时,我们需要注意什么？

生(齐)：注意讨论与x轴垂直的特殊情况．

师：有没有别的设法可以避免这个问题？

生3：设成x=ty+a．

师：而且这种设法对于后面和抛物线方程联立消去变量也带来了便利．如何使用OM⊥ON这一条件？

生(齐)：kOM·kON=-1．

生4：利用直线方程把x换成y．

师：有没有更简单的办法？

生5：利用抛物线方程把x换成y．

(教师一边分析一边板书，证明过程略.)

设计意图合理设出直线方程以及利用抛物线方程消去变量x是运算过程中的两个难点．

师：问题证明完了，我们回顾一下，由哪些不变的条件推出不变的结论？

设计意图归纳小结：由定点O、定直角∠MON推出直线MN过定点．

问题2如果把刚才的条件结论互换位置，即已知直线MN过定点P(1,0)，那么OM⊥ON还成立吗？

生(齐)：从图形上观察好像始终是垂直的．

师：那请一位同学来证明一下吧．

(学生口述，教师板书.)

师：从这个问题我们可以发现由定点O、直线MN过定点P可推出定角∠MON．

图3

设计意图探求条件结论的交换是否还能找到变化图形中的不变元素，并归纳小结：由定点O、直线MN过定点P可推出定直角∠MON．

问题3如图3，如果直线MN过的定点P的坐标变成(2,0)，那么OM⊥ON还成立吗？

(教师操作几何画板使直线MN运动，让学生观察.)

生(齐)：不垂直了．

师：那如何证明呢？

生(齐)：只要计算kOM·kON≠-1就行了．

(学生口述，教师板书.)

设计意图探求定点P对相关不变元素的影响并引导学生发现定直角∠MON的实质是kOM·kON为定值，并归纳小结：1)由定点O、定值kOM·kON可推出直线MN过定点P；2)由定点O、直线MN过定点P可推出kOM·kON是定值．至此，初步揭示本节课的主题：“3个定”之间存在着内在联系，可以“知二求一”．

问题4如果将定点O变化到抛物线上的点A(1,1)处，直线MN仍过定点P(2,0)，kAM·kAN还是定值吗？

(教师操作几何画板使直线MN运动，让学生观察.)

生(齐)：kAM·kAN不是定值了．

师：那我们刚刚发现的结论2)似乎不成立了，太可惜了．按照刚才的思路,可以重新研究一下结论1)吗？

设计意图探求定点O对相关结论的影响．

2.3 引出考题，深入剖析

(教师操作几何画板使直线MN运动，让学生观察.)

生6：直线MN还是过定点的，只是这个定点不再是x轴上的．

师：那我们如何求出这个定点？

(学生口述，教师板书.)

师：通过刚才的求解过程我们可以发现，直线MN仍然过定点(3，-1)．因此，结论2)不成立很可能是因为定点P选取不当造成的．请同学们再次思考一下结论2).

设计意图将刚才的结论1)推广到：由抛物线上定点A和定值kAM·kAN可推出直线MN过定点P．

图4 图5

问题6如图5，如果将定点O变化到抛物线上的点A(1,1)处，直线MN过定点P(3,-1)，kAM·kAN是定值吗？

(学生板演，教师点评.)

师：刚才这位同学板演得非常好！这个问题其实就是我们2017年4月学考的第24题，作为倒数第二道压轴题，大家解决得非常出色．

师：总结完了刚才两个结论，大家会发现“3个定”之间应该存在着内在联系．如果要继续研究下去，你还会思考什么问题？

生7：如果已知直线MN过定点P和定值kAM·kAN，那么能否推出定点A？

师：很好，这也是我想知道的问题.

(教师操作几何画板,让学生观察.)

设计意图将刚才的结论2)推广到：由抛线上定点A、直线MN过定点P可推出kAM·kAN是定值，并且通过之前的两个结论自然地引导学生思考结论3)：由直线MN过定点P、定值kAM·kAN可推出定点A．到此完整揭示本题变化中的不变关系：“3个定”构成一个有机的整体，可以“知二求一”．

2.4 课后探究，小结提升

师：由于时间关系，今天不能在课堂上证明这个结论了，请大家课后自行证明．另外，如果将抛物线推广到其他的圆锥曲线，还会有类似的结论吗？

(教师操作几何画板让学生观察)

师：具体结论也请大家课后思考．

设计意图“3个定”之间的内在联系可以推广到其他圆锥曲线，既进一步深化了本堂课的内容，又引导学生课后作出进一步思考．

师：最后送给大家4句话作为今天的小结“解几根基坐标法，设而不求化韦达，猜想类比善归纳，变中不变本质察”．

设计意图课堂小结的4句话既突出了解决直线与圆锥曲线问题的基本方法，又点明了这道学考题的研究过程及问题本质．

3 课例总结反思

从实际的教学反馈来看，本节课的总体架构是切实可行的，收效也比较好.本节课的亮点主要体现在以下3个方面：

3.1 展现规律的生成过程

本节课的内容是讲解学考题，选定题目之后如何揭示题目的本质成为教学设计的首要问题．按照常规的教学思路，先抛出考题，然后进行几个变式训练，最后小结也能达到揭示问题本质的目的．但这样的教学有些落入日常俗套，而且对于规律的揭示似乎有些生硬．因为学生始终落在教师之后，对于规律的探究方向不明确，对于他们而言，这样一些规律似乎总是“从天而降”．因此，要顺应学生的逻辑思维，从较低的起点入手，体现问题的自然生成过程，使得学生自然地发现并总结规律[1]．

按照这一思路，本节课为了揭示“定点A、定点P、斜率之积为定值”这3个量之间的内在联系，先从简单、特殊的图形入手：选取特殊的抛物线y2=x方便学生计算(同时也契合考题)，定点A选在原点O，定点P选在x轴上，斜率之积为-1(垂直)，这样的低起点方便学生入手．然后逐步将3个变量改变成一般情形，实现了难度的逐步上升，同时也使得学生逐步认识问题的本质．这样的安排符合从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象的一般认知规律．

3.2 坚持学生的主体地位

在教学过程中，教师是主导，学生是主体，教学活动的落脚点应该是学生的积极参与并完成心理认知结构的自我完善．信息接收(听课)、信息加工(思考)、信息储存(理解记忆)作为一个有机的整体，学生必须真正经历每一个环节才能同化新知识，完成对旧知识结构的重组．正所谓“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”，强调的正是在信息加工过程中教师不可替学生代劳．否则教学设计得再好，如果只是教师在唱“独角戏”，对于学生而言，这样的课堂也只能是走马观花、蜻蜓点水．

本节课从简单的图形入手，让学生不断经历“观察猜想，归纳论证”的过程，思维的主动性被调动．而且在教学过程中，提问采取“点面结合”的方式，既有全班的齐答，也有个体的回答、板书等环节．另外，教师在引导学生归纳小结、提出问题等方面都做了积极的尝试．

3.3 发挥技术的辅助作用

以多媒体为传播媒介，以教师对教学内容的设计为核心，合理运用教育技术在提高教学效率、实现教与学的优化过程中发挥了重要作用．它是信息化时代的必然产物，它的再现功能、集成功能、交互功能、扩充功能、虚拟功能等使得学习时空开放化，学习方式多元化，课堂教学手段、方法现代化，教材媒体由静态转为动态．它的应用和发展，已经给传统教学带来不可估量的影响，引起教学领域的巨大变化[2]．

变化中的不变量是本节课探究的一个主题，适时使用几何画板软件，让学生观察动态变化的图形，直观感知到不变量的存在，为后续研究指明了方向．这样的方式使得学生心中的问题自然生成，既激发了学生的求知欲，又使得问题规律的揭示不再是“从天而降”．

当然，本节课也存在许多不足之处，需要在后续的教学中加以改进．比如，在问题1给出后应该先给予学生动手操作观察的机会，再由教师动画操作提示结论．教学不能操之过急，应该充分给学生“观察—猜想”的时间，教育技术作为教学的一种支持手段不能使用过度．另外，在语言表达上还不够精炼，口语化现象比较多．数学是一门严谨的学科，课堂语言也应该是准确、精炼、简洁的．

[1] 傅瑞琦.铺设台阶 引人入胜——解题教学“一题一课”的实践与思考[J].中学教研(数学)，2013(1):16-20.

[2] 罗太华.多媒体技术在高中数学教学中的作用[J].新课程:教师版，2010(7):54.

收文日期：2017-10-31；

2017-12-01

魏侹路(1987-)，男，江西南昌人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

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1003-6407(2018)03-0005-04