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(洪家中学,浙江 台州 318015)
一道不等式题目的再探究
●何再君
(洪家中学,浙江 台州 318015)
文章以一道期末试题为例,剖析题目难点,从代数式外在的结构特征出发,联系不等式的一些基本结构,挖掘出问题的内在联系和解题规律,并通过类似题目和相关变式来研究此类问题中一些常见的解决方法,破解其思维过程,揭开其神秘面纱.
基本不等式;解题;结构特征;“1”的代换特征
( )
(2016年浙江省台州市高二数学期末试题第14题)
即例1实质上是求max{x,y,z}的最小值.
易看出分子的3个代数式结构一样,字母的范围一样,因此只要分析清楚一个代数式即可.
因为t∈(-2,-1),由对勾函数的图像得
所以
于是
故选B.
点评解法1的本质是通过换元转化为熟悉的对勾函数,利用其函数图像求最值.若涉及的函数比较复杂,且计算量大,则注意结合以往解题经验,在转化变形中识别结构模式,化繁为简,去伪存真.
解法2max{x,y,z}≥
点评解法2的难点是不容易发现两个分式的分母之和是常数1,还需联想到“1”的代换,再利用基本不等式.
解法3可运用柯西不等式一步到位:
点评柯西不等式在高中选修教材中(不做要求)出现,若能适当应用,则将大大缩减解题时间.
仔细观察代数式的形式,联想曾经学过的知识中隐含的一些特殊结构与逻辑结构,将不熟悉的问题重组或分解成几个小问题,然后各个击破,找到联系的桥梁,从而真正理解数学的内在本质.
解因为
思考若把x+y=1改为2x+3y=2呢?原式可变为
后面的解法与例2相同.
方法1观察整式的结构特征以及分式结构的两个分母,因为
(x+3y)+(x-y)=2(x+y)=2,
所以待求式可化为
方法2受方法1启发,可设x+y=λ(x+3y)+μ(x-y),则
从而
下面同方法1.
结论1当分式求和结构中分母的线性代数值和为定值,可利用基本不等式求分式和的最值.
例4已知a>0,b>0且满足a+2b=2,若不等式abt+(t-2)a-b≤1恒成立,则实数t的取值范围为______.
解对不等式abt+(t-2)a-b≤1进行参数分离得
点评例4和例5的背景分别是不等式恒成立问题和圆锥曲线的离心率问题.去掉背景,可转化为条件不等式求最值,看似复杂,实则利用常数“1”的变形与代数式结构重组,可快速解答.
总而言之,一个复杂的数学问题,当我们无从下手时,可想法设法把问题分解为几个相关联的小问题,各个击破[3].在运算中善于挖掘代数式的结构特征,追本溯源,从而找到数学问题内在的逻辑链.
[1] 陈儿,杨亢尔.对一道统测试题的探源及拓展[J].中学教研(数学),2017(4):17-20.
[2] 李旺强.一道课本例题的解析、改编与变式[J].中学教研(数学),2017(8):27-29.
[3] 郑良.析困难所在 觅破解良方[J].中学教研(数学),2017(1):26-30.
收文日期:2017-11-13;
2017-12-21
何再君(1982-),女,浙江台州人,中学二级教师.研究方向:数学教育.
O122.3
A
1003-6407(2018)03-0013-03