例谈高考三角函数复习策略

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(余姚中学，浙江 余姚 315400)

例谈高考三角函数复习策略

●胡建烽龚凤

(余姚中学，浙江 余姚 315400)

三角函数是历年高考的必考内容，结合近几年浙江省数学高考卷的考查情况，分析考点、把握难点、剖析疑点，力求明确复习方向，提高备考质量．

三角函数；三角恒等变换；解三角形；复习建议

1 知识内容

三角函数的考查内容主要有：三角函数、三角恒等变换和解三角形．其中，三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用；三角恒等变换在数学中有较强的应用，同时有利于发展学生的推理和运算能力[1]；解三角形揭示了一般三角形中重要的边角关系，并运用正余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，有助于学生认识数学的应用价值、增强应用意识．在高考中，三角函数的考试内容主要包括：角的概念、角度制与弧度制、三角函数的定义；三角函数的图像与性质、诱导公式、同角三角函数关系、函数y=Asin(ωx+φ)、两角和与差的三角函数公式、简单的三角恒等变换；正弦定理和余弦定理及应用．

2 命题分析

浙江省近5年高考中三角函数试题分布、分值统计如表1所示．

表1 浙江省近5年三角函数考题分布情况

年份和文理科题号分值2013年文科卷3，6，18242013年理科卷4，6，16152014年文科卷4，18192014年理科卷4，18192015年文科卷5，11，16252015年理科卷11，16202016年文科卷3，11，16252016年理科卷5，10，16252017年14，1820

在近几年的浙江省数学高考卷中，三角函数均为简单题及中等难度试题，总体来说，试题的考查难度不大，容易得满分，全国各地数学高考卷中对三角函数的考查亦有相同的特点．

根据统计，三角函数每年考查的题量和分值较为稳定，一般为1个大题加1～2个小题，主要考查三角函数的定义及几何意义，利用诱导公式和同角公式的化简、求值，三角函数的图像、性质，角、名、幂的三角恒等变换，利用正余弦定理边角互化、解三角形等知识点，同时也考查了数形结合、整体换元、转化化归等数学思想方法．复习时，要关注学生对基础知识和基本技能的掌握情况，关注学生的易错点、模糊点，使学生对三角函数的内容在高考中达到快而准得满分的目标．

3 典例剖析

例1已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，联结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=______．

从而

在△BDC中，求得

从而

点评只要学生熟练掌握正余弦定理解三角形的常见模型，此题便能迎刃而解．

解法2(向量法)以点B为原点、BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，可求得

从而

点评向量是解决几何问题的重要工具，也是证明正弦定理、余弦定理的有效手段，因此向量方法也是解三角形的常用策略．解题中，若能根据图形特点建立适当的平面直角坐标系，用坐标来表示向量，则能事半功倍．

( )

xcosy

从而

即

cosx

因此

x>y．

即

点评用有向线段表示三角函数值，即从图形角度考查任意角的三角函数，这是三角函数与其他基本函数不同的地方．单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它不但可以画出准确的三角函数图像，还可以讨论三角函数的性质．本题借助三角函数线得到的sinx,x,tanx之间的不等关系进行处理，水到渠成．

例3已知函数f(x)=sinxcos 2x，则下列关于函数f(x)的结论中，错误的是

( )

A．最大值为1

C．既是奇函数又是周期函数

sinx=-1， cos 2x=-1，

从而

f(x)max=1．

-cosx(-sin 2x)=

cosxsin 2x≠-f(x)，

点评三角函数的图像与性质是高考的必考知识点，如定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、图像变换等，学生在记忆有关结论的同时，还需掌握数形结合、整体代换等思想方法，靠单纯的记忆，无法到达成功的彼岸.同时，学生通过对这部分内容的学习，对一般函数的相关性质也会有更进一步的理解．

例4在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a=m，b=m+1，c=m+2，m∈N，且m≥2．若△ABC中最大角是最小角的两倍，求m的值．

解法1依题意，A

因为C=2A，所以

cosC=cos 2A=2cos2A-1，

即

化简得

(m-4)(2m2+7m+3)=0，

解得

m=4．

解法2由题意知A

sinC=sin 2A=2sinAcosA,

即

由正弦定理，得

从而

解得

m=4，

可以验证此时三角形的最大角是最小角的2倍．

点评本题的主要条件是C=2A，求的是边长，因此如何将角的关系转化为边的关系实现边角统一是解决本题的关键．解法1是利用余弦定理将余弦化为边；解法2是利用正弦定理将正弦的比值化为边长的比值及用余弦定理将余弦化为边．值得注意的是，用正弦定理进行边角互化时，表达式必须是齐次式．

解法1由正弦定理，得

a+c=pb，

由题意知角B为锐角，从而

cosB=2p2-3∈(0,1)，

即

从而

即

于是

根据同角公式，得

又

4 精题集萃

( )

2．设函数f(x)=sin2x+bsinx+c，则f(x)的最小正周期

( )

A．与b有关，且与c有关

B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关

D．与b无关，但与c有关

( )

A．不一定有交点 B．至少有两个交点

C．只有一个交点 D．至少有一个交点

1)求ω的值；

1)求tanC的值；

2)若△ABC的面积为3，求b的值.

参考答案

即

于是

g(x)∈[-1,2].

于是

-cos 2B=sin2C.

从而

sin2C=2sinCcosC,

于是

tanC=2.

2)由tanC=2， 其中C∈(0,π),得

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京：人民教育出版社，2003.

3)利用几何关系求解代数关系．包括：根据曲线的几何特征判断曲线方程的特征；根据两曲线的关系判断两曲线方程的关系；根据几何运动变化推断曲线方程的变化等．

1.3 常用题型与方法

常用题型有：求几何特征量、方程、特殊位置或关系、定点或定值、几何量的范围．

求(轨迹)方程的方法有：定义法、直接法、待定系数法、参数法、几何法、交轨法．

求几何关系的方法有：几何法、判别式法及韦达定理、点差法．

从以上可以看出解决解析几何问题，最重要的策略是：注重深层次的数形结合，利用代数、几何相互诠释，从而揭露其本质．

为了快速解决问题或减少运算量，解析几何应从运动变化、逻辑推理等角度理解其特征，从而快速得到解决．减少解析几何运算的方法有：极限思想、逻辑推理、先猜后证、特殊到一般、数形结合等．

2 典题剖析

2.1 综合运用韦达定理和点差法解决存在性问题

1)求椭圆的标准方程.

2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于点P,Q，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

2)假设存在直线l交椭圆于点P,Q，且F恰为△PQM的垂心.设P(x1,y1),Q(x2,y2),又kMF=-1，则kPQ=1.设直线l为y=x+m,代入椭圆方程得

3x2+4mx+2m2-2=0,

x1(x2-1)+y2(y1-1)=0，

即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,

亦即 2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,

评注满足特殊要求和位置的存在性问题，是解析几何基本题型之一，是常考常新的类型.求解的一般思路是：先假设存在，综合运用韦达定理、点差法及几何推理论证，求出目标，或推出矛盾说明不存在．

2.2 注重数形结合，从运动、函数等角度提升本质的理解

解析几何的核心思想是运用坐标、方程等思想解决几何问题;反过来，考虑几何体运动变化时的特征有助于问题的解决，可避免大量的代数运算．

1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；

2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．

(2016年浙江省数学高考理科试题第19题)

1)分析本题为典型的求弦长的题目，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出弦长即可： 设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP，与椭圆方程联立得

(1+a2k2)x2+2a2kx=0，

2)分析1假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|．记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1>0,k2>0，k1≠k2．由第1)小题知

由k1>0,k2>0，k1≠k2,知

(1)

因为式(1)关于k1，k2的方程有解的充要条件是

1+a2(a2-2)>1,

分析2上述方法严谨而全面，学生有此意识并能完成的很少．从图的运动变化看，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为：当k∈[0,+∞)时，函数

为单调递增函数,从而

对任意的k>0都成立．因此a2≤2，下面与分析1相同．

分析3从图的运动变化看，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为：当点P在右半椭圆从上往下移时，|AP|越来越大．记P(x1,y1)，则

于是a2≤2，下面与分析1相同．

评注例2是综合弦长、距离的典型高考原题，从中告诉我们应提高运动变化的观点、函数方程思想，进一步掌握解析几何的本质．

2.3 综合运用参数、几何关系、逻辑推理求解定点和定值问题

定点和定值问题是解析几何中热门、有趣的问题之一，在各类各级考试中常有此身影．其一般思路是运用参数，求出该定点(或定值)与参数无关即可．它是集运算求解、数形结合、逻辑推理于一身的综合问题，因此少不了逻辑推理，如：可以运用先猜后证、特殊到一般、极限等逻辑推理减少运算量和思维量．

图1

分析1首先当r→1时，B→A，D→椭圆下顶点A1(0,-1)，即直线BD→y轴.因此，猜想直线BD与y轴交于定点，具体解法如下：

设切线方程为y=kx+1，则

即

(1-r2)k2-2k+1-r2=0.

(1+4k2)x2+8kx=0,

因此直线BD的方程为

令x=0，得

分析2从运算角度看，上述方法较繁，注意到点B，D地位对等，利用点B(或点D)既是两条直线AB，BD的交点，又在椭圆上，通过构造方程进行求解，有如下方法：

设直线AB，AD，BD的方程分别为y=k1x+1，y=k2x+1，y=k3x+m(其中m≠1)，则

(m-1)2=4(m2-1)，

分析3可反向思考，先设直线BD的方程，由韦达定理知点B，D的坐标关系，再由两条直线AB，AD同时与⊙M相切即可得.

设直线BD的方程为y=kx+m，代入椭圆方程得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

由分析1知

评注解析几何的运算量大，很多学生“望题生畏”“中途而废”.因此，除了加强运算技能外，还要加强解题策略和逻辑推理能力，如先猜后证、特殊到一般、方程思想、反向思考等．

2.4 综合运用函数、方程、不等式、几何关系等求解几何特征量的取值范围

几何特征量的取值范围问题是解析几何中常见的题型之一，常用方法有：1)函数法，增设参数，转化为求函数的值域问题或进行不等式放缩；2)方程法，转化为方程有解问题；3)几何法，如利用圆锥曲线定义、几何元素之间的关系(点在椭圆内外、直线与圆锥曲线关系等)求解．

图2

1)证明：k1k2为定值；

2)过点M且与BN垂直的直线交椭圆C于点P,Q，求△BPQ面积的最大值．

分析1)除了直接法外，注意到kBNkDN=-2为定值，因此只要证明kDN与kOM是倍数关系即可.显然

从而

k1k2=2kDMk2=-4.

2)常规方法：设M(1,t)，则△BPQ的面积可以直接用t表达，然后利用不等式求出其最大值，此法运算量大而繁．若先利用几何关系，则可大大降低运算量．

因为kBNkDN=-2，kBNkPQ=-1，所以

S△BPQ=|S△EBQ-S△EBP|=2|y1-y2|,

即转化为常规问题.设直线PQ的方程为x=my-3，代入椭圆方程得

(2m2+1)y2-12my+16=0,

记m2-4=t，得

评注取值范围问题虽然思路简单，但要快速准确地求解，同样需要找到代数与几何的相互关系，从研究其本质作为出发点．

3 精题集萃

1．已知p：“0≤a≤2”，q：“直线x+y-1=0与圆(x-1)2+(y+a)2=2有公共点”，则p是q的

( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

( )

( )

4．过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于点M，N，作MONP，则点P的轨迹方程为______.

6.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点F的直线交该抛物线于点A，B，则|AF|+4|BF|的最小值为______．

8．已知抛物线C：x2=2py(其中p>0)上横坐标为4的点Q到焦点F的距离为5．

1)求抛物线C的方程；

2)若p≤2，过焦点F的直线交抛物线C于点A,B，设直线AO与BO(其中点O为坐标原点)分别交直线l：y=x-2于点M,N，求|MN|的最小值．

参考答案

1．A 2．C 3．C

8．解1)抛物线C的方程为x2=4y或x2=16y.

收文日期：2017-12-28；

2018-01-29

胡建烽(1982-)，男，浙江余姚人，中学高级教师．研究方向：数学教育．

O124.1

A

1003-6407(2018)03-0042-05