基于PME的直观想象核心素养之认识

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(凤鸣高级中学,浙江 桐乡 314500)

基于PME的直观想象核心素养之认识

●沈金兴王华

(凤鸣高级中学,浙江 桐乡 314500)

直观想象主要借助几何直观和空间想象来描述、分析与解决数学问题.文章从数学教育心理学(PME)视角来认识，直观的感知和呈现方式具有多样性，在认知上具有两重性，同时还要厘清直观与直觉、几何直观与空间观念、几何直观与数形结合的联系与区别.

直观想象;PME;核心素养

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)修订专家组提出了数学的六大核心素养问题，因此近期关于核心素养的探讨很热门.其中，浙江省数学教研员张金良老师组织的“名师面对面——指向高中数学核心素养教与学的策略”的活动，为浙江省数学教师开了个好头，也起到了引领与示范作用.张老师依托名师网络工作室，邀请大学教授、特级教师与各地名师等，每隔半个月组织一次以某个核心素养或其他内容为主题的探讨，并采用网络直播的形式，反响很好.笔者有幸成为了张金良名师工作室：“‘直观想象’核心素养”这一期活动的参与者，对该素养进行了深入思考.

哲学家康德认为“缺乏直观的概念是盲目的”，而数学教育家克莱因则说“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”.的确如此，人们对新事物的认识首先是从直观上把握，产生一种直观认识，然后再逐渐深入认识，因此直观想象是人认识事物的基本方式之一，也是进一步抽象的基础.笔者试图从数学教育心理学(PME)[1]角度来分析认识.

1 直观想象的定义

《课标》修订专家组对直观想象给出了明确的定义：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

从上述表达来看，直观想象更多地是依靠几何直观，包括平面几何与空间几何的直观.应该说这很符合中学阶段学生的学习特点，因为中学数学主要的研究对象就是图形与数、字母，所以借助几何图形来认识和理解数学问题是一条很好的途径.用德国著名数学家希尔伯特的话来说，就是要让学生学会借助图形去表达和刻画问题，并能发现问题解决的思路.通俗讲法就是“看图说话”，原因有3个方面：首先，如果图形能把某问题表达或刻画清楚，那么就能让问题变得简洁、明了和直观；其次，直观的问题有助于发现问题与分析问题，从而找到解决问题的方法；最后，图形还有助于描述或记忆某些结果.因此，直观想象的素养有利于学生感知和理解事物.

2 直观想象核心素养的水平划分

为了能更好地体现直观想象核心素养，还需进一步明确学生直观想象的发展水平.《课标》修订组把直观想象素养划分成3个水平，分别对应于必修、选修Ⅰ、选修Ⅱ课程结束时学生应具备的直观想象素养水平，具体描述如下：

水平1能够在具体的实际情境中，建立起实物的几何图形，也可以由图形想象具体实物；体会形和形、形和数的关系，感受数形结合的思想，直观理解数学问题.在具体的数学情境中，能够借助图形性质发现数学规律；能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其特有性质；理解图形的轴对称、平移、旋转变换.在具体的数学实际情境中，能够利用图形的直观想象进行交流.

水平2能够在具体的数学情境中，通过想象建构起对应的几何图形，利用图形发现、提出数学问题，并找到形和形、形和数的关系，探索图形的运动规律；能够掌握研究形和形、形和数关系的基本方法；能够借助图形性质探索数学规律；能够通过计算、分析、论证，解决实际问题或数学问题；能够通过直观想象提出数学问题；能借助图形探究问题解决的办法，从而形成数形结合思想，感受图形直观的作用和意义；在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题.

水平3能够在具体的科学情境中，利用图形的直观首先想象出数学问题，然后建立数学模型，再通过综合应用形和形、形和数的关系，建立数学各分支之间的联系；能够借助直观想象建立数学与其他学科的联系，并形成理论体系的直观模型；能够通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，反应数学问题的本质，形成解决问题的思路；在交流的过程中，能够利用直观想象探讨问题的本质及其与数学的联系.

由此可以看出，《课标》对直观想象核心素养的水平划分是从描述数学问题、理解数学问题、探索和解决数学问题这3个方面展开的.在构建几何直观想象部分，3种水平分别对应了实际情境、数学情境和科学情境，并逐渐递进上升.先从图像想象实物，体会关系并借助图形直观理解数学问题；再构建图形提出数学问题，探索规律并利用直观想象探讨数学问题；最后通过想象构建数学模型，建立数学与各学科之间的关系并形成理论体系.

此外，南京师范大学的喻平教授对数学学科的核心素养作了发展层次的划分[2].他从知识与能力的历史纷争出发，认为知识是核心素养生成的本源，个体知识和客观知识都是生成的来源，学科核心素养包括“知识理解”“知识迁移”和“知识创新”这3个层面.知识的理解、知识的迁移、知识的创新分别为学科核心素养的一级水平、二级水平和三级水平，要突破囿于“知识理解”层面的传统教学模式，实现发展学生核心素养的教学目标，在教学过程应当做到知识教学与文化教学相结合、结果性知识与过程性知识相结合、学科性知识与实践性知识相结合、外显性知识与内隐性知识相结合、证实性知识与证伪性知识相结合.笔者以为：喻平教授的核心素养发展三层模型理论不仅适用于数学核心素养的培养，同时也适用于直观想象这个数学核心素养，而且与《课标》修订专家组给出的直观想象3个水平的划分异曲同工，即也是具有理解、迁移和创新这3个发展特征的.

3 关于直观的特征分析

根据修订中的《课标》对直观想象的定义与水平划分，从PME视角作进一步的解读，可得出直观的5个特征[3].

特征1直观是人们认识和感知世界的一种基本方式.世界上的事物千差万别，即便是相同事物也可以有不同的表现方式.这些方式如果从逻辑关系来看，就有简洁与繁杂之分；从感知类型来看就有直觉感观和理性思考之分；从思维形式来看就有形象思维与抽象思维之分.因此，人们认知世界万物的一个基本特点就是将事物直观化.

特征2直观的呈现方式是多种多样的.例如，美景如画却难以表达或描述时，就拍下视频或照片好让人直观观看；如果给人讲的道理很抽象，就可用一个生动形象的故事来表达，以方便领悟；当逻辑关系错综复杂时，就用一个结构流程图或思维导图来呈现，以方便梳理等等.以上种种，都是不同形式的直观.

特征3直观的感知也是丰富多彩的，而不只限于可视化.人通过感觉器官去直接感知事物并不局限于视觉.因为除了用眼睛去看之外，还可以用耳朵去听，用鼻子去闻，用舌头去尝，用手和脚去触摸等等，只要是能用人的不同器官去感知事物，皆是一种直观.

图1

特征4直观具有认知的两重性.因为直观属于低层次的认知，是为进一步抽象作铺垫的，但同时又为抽象的意义提供了直观感知，有助于加深和丰富人们的认知.比如青岛版小学一年级《数学》教科书中有这样的例题.

例1如图1，躲在云朵里的大雁，从前面数排在第3，从后面数排在第6，请问有多少只大雁？

图2

如图2，学生通过画图可猜测和推理出大雁的数量.

教材这样的编排就很好地体现了直观在学生认知方面的两重性，从浅层认知逐步过渡到抽象认知，这说明直观的价值既有工具性层面的，又有本体论层面的.

图3

特征5几何直观的价值在“非几何和图形”方面的研究中体现得淋漓尽致.因为只有在这个领域不断进行应用，学生的几何直观素养和能力才能很好地得到提高，也能更好地培养学生的直观想象.比如人教版高中《数学(必修5)》的第3.4节“基本不等式”中，教科书安排了这样一个探究.

直观想象正是基于直观的这些特征，初步形成形象思维以帮助人们去理解和认知数学问题，再进一步产生抽象思维，继而去探索与解决问题.

4 厘清几个易混淆的概念

1)直观与直觉.

学者孔凡哲认为直觉并不是直观[4]，并指出了几何直观认识中的几个误区，其中之一便是许多人认为几何直观就是几何直觉.实际上，直觉是不经过逻辑推理分析的、直接快速地判断的能力，属于学习者对于学习对象的感性认识，是很大程度的猜测和朦胧的整体把握.而几何直观是直观感知的基础之上形成的理性思考的结果，是一种对于数学对象几何属性(或与几何属性相关的一些属性)的整体把握和直接判断的能力.

2)几何直观与空间观念.

几何直观和空间观念是不同的两个概念，无论在数学研究文献还是各国课程标准中都分开描述.空间观念一般是指在三维空间中由物体的具体特征抽象出空间几何图形，或由三维空间图形想象出具体的实物，想象出物与物之间的前后、左右、上下等方向与位置关系，表述出相互间的变化与运动轨迹.而几何直观强调的是利用图形来解决问题，但这些问题并不局限于几何问题，可以是代数问题或其他问题，而空间观念基本上是局限于“空间和图形”中的几何对象之间关系的把握.

3)几何直观与数形结合.

我们知道几何直观是可以和数学内容密切联系的，不是虚无漂渺而是实实在在的具体的物与形.其实高中数学中的许多知识都可以用形与数来描述，既有“数”也有“形”，是具有“两重性”的.比如函数，除了解析式这个“数”的形式外，也可用图像这个“形”来表示.再如向量，它的概念本身就是“数”与“形”的结合体，因此在教学中可以用学生手中的“笔”这个实物来直观表示向量：笔尖表示方向，笔身的长短表示大小.还有解析几何、立体几何等，均具有“数”与“形”的特征，而所有这些知识都要让学生从“数”和“形”这两个方面去认识，才可以理解与掌握其本质.这样就能使这些知识变得生动、直观、形象，有利于学生去思考问题，提高直观想象能力，即所谓的“数形结合”.因此数形结合有助于培养几何直观，但几何直观又不仅仅局限于数形结合，还可以进行几何变换.比如，可以让图形在运动或变换中动起来，通过运动来研究变中的不变性，从而发现规律，揭示图形的性质与本质.

5 结束语

修订中的《课标》所提出的6个核心素养，需要中学一线教师在教学实践中具体落实.但如果对核心素养理解不到位，没有从多元视角、全方位去分析解读，可能会在落地实践中发生偏差，继而产生误导，甚至还会适得其反.正基于此，张金良名师网络工作室才举行了名师面对面的活动，旨在讨论在教与学中如何正确引导学生养成这些核心素养.当然大家对核心素养的解读或看法很多，但从PME视角去认识和理解核心素养，的确会有新的发现.

17世纪法国数学家笛卡尔早就认为，利用几何图形来表示事物有利于学生的学习，因为任何东西都不如几何图形那样更容易深入脑海，所以直观想象需要借助几何图形来形成直观，这是学生学习与理解数学的好办法.当然在高中阶段，直观想象主要表现在：利用图形描述数学问题；利用图形理解数学问题；利用图形探索与解决数学问题；构建理论体系的直观模型.希望中学教师在教学中多培养学生的直观想象能力，以便更好地理解高中越来越抽象的数学知识.

[1] 李士锜.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2005.

[2] 喻平.数学学科核心素养要素析取的实证研究课程[J].数学教育学报，2016,25(6):1-6.

[3] 沈金兴,王奋平．从PME视角看直观想象素养及其培养[J]．教育研究与评论，2017，(4)：11-15.

[4] 孔凡哲.关于几何直观的若干认识误区及其矫正[J].中学数学教学参考,2014(6):2-5.

收文日期：2017-11-14；

2017-12-15

沈金兴(1971-)，男，浙江桐乡人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

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1003-6407(2018)03-0030-04