剖析概率统计中的误区警示

■山东省日照第一中学 申秀实

概率统计学习中,由于同学们对概念理解不透、审题不严、考虑不周或忽视公式成立的条件等,导致求解中出现“多解”或“漏解”等失误。本文对概率统计中常见的易错、易混的典型题归类整理,并进行错解剖析和警示展示,希望对同学们的学习有所帮助。

误区1——混淆“非等可能”与“等可能”事件

例1 已知在两个口袋内,分别装有写着数字0,1,2,3,4,5的六张卡片,现从每个口袋中各取一张卡片,求两张卡片上的数之和等于7的概率。

错解:从每个口袋中各取一张卡片出现的数字之和为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,共有1 1个数,则基本事件总数为1 1,所以两张卡片上的数之和等于7的概率

剖析:其实,从每个口袋中各取一张卡片出现的数字之和为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,共有1 1个数,但这1 1个数出现不是等可能的,比如数字之和为0只有一种可能(0+0=0),而数字之和为1就有两种可能(1+0=1或0+1=1)。

正解:注意依次取两张卡片是有序的,构建二元有序实数对转化为等可能,从每个口袋中各取一张卡片,组成62=3 6(种)有序卡片对,其中两个数之和等于7的卡片对为(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),共4种情况,故两张卡片上的数之和等于7的概率

警示:从两组元素中依次抽取两个元素研究其数字和的问题,可以构建有序实数对使“非等可能”事件转化为“等可能”事件,利用古典概型计算公式求解。

误区2——混淆“等可能”与“n次独立重复实验恰有k次发生”

例2 冰箱中放甲、乙两种饮料各5瓶,每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料,取甲种或乙种饮料的概率相等。

(1)求甲种饮料饮用完毕,而乙种饮料还剩下3瓶的概率。

(2)求甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用的瓶数至少多4瓶的概率。

(2)甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用的瓶数至少多4瓶包括3种情况:①甲被饮用5瓶,乙被饮用1瓶,有种;②甲被饮用5瓶,乙没有被饮用有种;③甲被饮用4瓶,乙没有被饮用,有种。故甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用的瓶数至少多4瓶的概率为

剖析:错解中是把饮用甲、乙两种饮料当作一次性取出,而每瓶被饮用的概率相等,所以用“等可能事件的概率”来解决是错误的。实质上,每瓶饮料是一次次地取出饮用的,且甲、乙两种饮料每次被饮用的概率都为,故应构造“n次独立重复实验恰有k次发生的概率”来解。

正解:(1)设“饮用一次,饮用的是甲种饮料”为事件A,则甲种饮料饮用完毕,而乙种饮料还剩下3瓶的概率,即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为

(2)甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用的瓶数至少多4瓶包括上述3种情况,所求概率为P6(5)+P5(5)+P4(4)=

警示:抽后放回与不放回可构造不同的概率模型,抽后放回可构造n次独立重复试验某事件发生k次的概率公式进行计算,抽后不放回利用互斥事件合理分类,每类下可构造相互独立事件的概率或利用对立事件简化求解概率。

误区3——随机变量ξ取值出错导致分布列中所有事件的概率和不为1

例3 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9。求在一年内李明参加驾照考试的次数X的分布列。

错解:随机变量X可取1,2,3,4,P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.4×0.7=0.2 8,P(X=3)=0.4×0.3×0.8=0.0 9 6,P(X=4)=0.4×0.3×0.2×0.9=0.0 2 16。

所以李明参加驾照考试的次数X的分布列如表1所示。

表1

剖析:对事件“X=4”不理解,导致分布列中所有事件的概率和不为1,“X=4”表示李明前3次均没通过,而第4次可能通过也有可能不通过。

正解:随机变量X可取1,2,3,4,则P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.4×0.7=0.2 8,P(X=3)=0.4×0.3×0.8=0.0 9 6,所以P(X=4)=0.4×0.3×0.2×(0.9+0.1)=0.0 2 4,或利用性质求解P(X=4)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)=0.0 2 4。

所以李明参加驾照考试的次数X的分布列如表2所示。

表2

警示:在确定随机变量取值时,找出关键词,理解随机变量ξ的实际意义。准确列出随机变量ξ的所有可能取值,且注意ξ=0是否符合题意,只有这样才可避免出错。有时可用概率分布列的性质p1+p2+p3+…+pn=1检验分类是否完备或简化求解某个取值的概率。

误区4——对概率模型中各个参数的含义理解不清致错

例4 从一批含有1 3只正品、2只次品的产品中,不放回地抽取3次,设抽得的次品数为ξ,求E(5ξ+1)。

错解1:随机变量ξ服从二项分布B(n,p),这里独立重复试验的次数n=3,在一次试验中事件(次品)发生的概率,则得 E(5ξ+1)=

剖析:错解1误认为随机变量是独立的,服从二项分布,而本题中变量与前后有关系,是不独立的,即变量不服从二项分布,不能用E(ξ)=n p来计算期望。错解2中,对于ξ=1这种情形,表示从1 3只正品中取1只正品后(不放回),再接着从剩下的1 2只正品中取1只正品(不放回),C12表示从2只次品取1只次品,这时,对这3只产品进行全排列,得其实,1 3只正品被抽取的机会是均等的,取得的2只正品前后没有关系,应视作一种情形,只要看1只次品所取的位置,既有3种方法,则

正解:先选后排,正次品选定后注意正品为相同元素,只需要排定次品的位置就唯一确定了此时相同正品的位置,则P(ξ=1)=同 理,所以

警示:不放回地抽取,在理解随机变量取值的意义下,先选后排,且注意次品选定后正品是相同元素与次品排位的“一一对应”关系,排定次品就唯一确定了正品,利用这种对应关系就可以避免重复计数。