2018年全国高考数学考纲关键词解读及预测分析（2）———统计与概率、解析几何

■北京市第十二中学高中部 高慧明

本刊特邀栏目专家简介:

高慧明首届全国十佳班主任,全国著名数学特级教师,国家教育部课程改革“全国先进工作者”,全国著名高考数学命题与考试研究专家,国家教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家,受邀在全国各地做有关高考科学备考、班级管理等多场专题报告。现任教于北京市第十二中学高中部。

一、统计与概率中的关键词——随机抽样、随机变量、分布列、期望

1.随机抽样。

(1)理解随机抽样的必要性和重要性。

(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法。

2.用样本估计总体。

(1)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差。

(2)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释。

(3)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想。

(4)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

3.变量的相关性。

(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,并利用散点图认识变量间的相关关系。

(2)能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)。

4.古典概型。

(1)理解古典概型及其概率计算公式。

(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

5.计数原理。

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题。

(2)理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题。

(3)理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题。

(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

6.概率与统计。

(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。

(2)理解n次独立重复试验模型及二项分布,并能解决一些简单问题。

(3)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单问题。

解读:分层抽样和系统抽样虽为“了解”的内容,但却是高考命题的重点,伤不起呀。唯有试题的难度与“了解”对应,考题遵循考纲但不唯考纲。三图中的频率分布直方图与茎叶图的要求虽低,但为考查重点。尤其是频率分布直方图中相关数据的求解是考查的热点。“提取基本的数字特征”,平均数与方差的计算,要熟记公式哟。“理解用样本估计总体的思想”,即样本与总体的数字特征相同。样本数据的中心点是我们求解线性回归方程的“抓手”。考纲明确提出:“线性回归方程系数公式不要求记忆”!“互斥事件的概率加法公式”虽为“了解”的内容,但属高考的重点,渗透在概率的每一个问题中——不唯考纲的又一例证。

对古典概型的要求比较高,属于命题的重点。几何概型属“了解”的内容,但高考常考,要定准衡量的依据!是长度或角度?还是面积或体积?计数原理的四条要求都不低,两个基本原理是我们解决排列组合问题的主要依据,要记住“先组后排”,实际上就是先分类后分步的体现。对于二项式定理要将通项公式记准。

“会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列”提示我们考查的分布列中随机变量的取值是有限的。相互独立事件的概率要求虽为“了解”,但却是高考命题的重点,自己提点高要求吧!对于二项分布要记准公式,记住规律,命题有两个重点:公式求项、赋值求系数。回归直线方程的求解与独立性检验要求为“了解”,所以考题也是简单的!

命题预测:全国卷对统计与概率的命题:2个小题和1个大题,小题一般主要考查频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、独立性检验、几何概型和古典概型、抽样(特别是分层抽样)、排列组合、二项式定理。解答题一般考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差,仍然侧重于考查与现实生活联系紧密的应用题,体现数学的应用性。

2 0 1 7年高考以实际问题为背景,考查了正态分布和二项分布,考查用概率统计的基本方法和基本思想解决实际问题的能力,考查对非连续文本阅读的能力,要求快速从文本中提取、整理、分析数据并做出判断,预计2 0 1 8年概率与统计继续保持较新的题型。注意高考数学命题在逐步淡化数学的解题技巧,对运算能力的要求却有所提高。

例1 微信已成为人们常用的社交软件,微信里的“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号。手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞。现从小明的微信朋友圈内随机选取了4 0人(男、女各2 0人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如表1:

表1

(1)利用样本估计总体的思想,试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过1 00 0 0步的概率。

(2)若某人一天的走路步数超过80 0 0步被系统评定为“积极型”,否则评定为“懈怠型”,根据题意完成表2所示的列联表,并据此判断能否有9 0%的把握认为“评定类型”与“性别”有关?

表2

表3

解析:(1)根据表1中的数据可知,4 0位好友中走路步数超过1 00 0 0步的有8人,所以利用样本估计总体的思想,估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过1 00 0 0步的概率

(2)根据题意完成列联表,如表4。

表4

例2 某学校为了丰富学生的业余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取题目,背诵正确加1 0分,背诵错误减1 0分,背诵结果只有“正确”和“错误”两种。其中某班级背诵正确的概率为p=,背诵错误的概率为,现记“该班级完成n首背诵后总得分”为Sn。

(1)求S6=2 0且Si≥0(i=1,2,3)的概率。

(2)记ξ=|S5|,求ξ的分布列及数学期望。

解析:(1)当S6=2 0时,即背诵6首后,正确为4首,错误为2首。

由Si≥0(i=1,2,3)可得,若第1首和第2首背诵正确,则其余4首可任意背诵对2首;若第1首正确,第2首背诵错误,第3首背诵正确,则其余3首可任意背诵对2首。

(2)因为ξ=|S5|的取值为1 0,3 0,5 0,又,则

所以ξ的分布列如表5所示。

表5

二、解析几何中的关键词——直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线

1.直线与方程。

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率的计算公式。

(2)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

(3)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种表示形式(点斜式、两点式及一般式)。

(4)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

(5)掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离。

2.圆与方程。

(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程。

(2)能根据给定的直线与圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定的两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。

(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

3.圆锥曲线与方程。

(1)掌握椭圆、双曲线与抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

(2)理解数形结合的思想。

4.坐标系与参数方程。

(1)会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化。

(2)能在极坐标系中画出极坐标方程表示的图形。

(3)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

解读:每条直线都有倾斜角,但不一定有斜率。在解决过定点的直线问题时,要根据斜率是否存在进行分类讨论。当直线的斜率存在时,我们才能用直线方程的点斜式或斜截式进行求解,而用截距式方程解决直线与坐标轴围成三角形的面积问题则最为方便。两条直线垂直或平行的条件往往与充要条件的判断相结合综合命题。

在直线和圆的位置关系中,位置关系的判断、弦长的求解、切线问题是命题的重点。圆具有很好的几何性质,在解决与切线、弦长等相关问题的时候,充分利用点到直线的距离公式可以将问题顺利地解决。

一个“掌握”泄露了高考命题的重点——椭圆与抛物线,椭圆又成为重中之重,若有双曲线的考题,也是比较简单的。“理解数形结合的思想”——既要重视坐标法,还要注意圆锥曲线形的特征,两者结合求解相关问题。

坐标系与参数方程的基本要求均为“了解”,但“能进行极坐标和直角坐标的互化”暴露了命题的重点,多为直线和圆的两种形式方程的有关问题。当然也不要忽视参数方程与普通方程的互化问题。

命题预测:全国卷对解析几何的命题:2个小题和1个大题,小题主要以考查直线、圆及圆锥曲线的性质为主,一般结合定义,借助于图形可容易求解。大题一般以直线与圆锥曲线的位置关系为命题背景,并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识,考查求轨迹方程问题,探求有关曲线性质,求参数范围,求最值与定值,探求存在性等问题。另外,要注意对二次曲线之间结合的考查,比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等。坐标系与参数方程主要考查极坐标系与直角坐标系的坐标和方程的互化,在极坐标系下的点与线、线与圆的位置关系;就参数方程而言,主要考查参数方程与普通方程的互化,圆、椭圆、直线参数方程的几何意义,直线的参数方程在直线与圆锥曲线的位置关系中,弦长、割线长等的计算问题。坐标系与参数方程轮换考或结合起来考。

解析几何的考查近几年趋于常规,选取的方法非常基础,考查同学们的运算能力。全国卷非常注重适度的、最基本的几何分析,以及围绕“代数化、基本几何分析、结论”进行考查。很多题目背后都有一般性的结论,高考命题中不排斥结论,甚至多次考查结论,最重要的是掌握其方法。加强对教材知识的挖掘,充分注意课本的基础作用和示范作用;提高认识,通过典型例题分析明确解决圆锥曲线问题的基本思路。

加强用函数和方程的思想解决几何问题的研究;掌握常用的解题策略方法,拓宽简化运算的渠道;加强思维优化的培养,强调思维的简捷性和解法的最优化;重视积累,丰富同学们自身的解题工具(知识点、二级结论、方法);加强计算能力的培养,尤其是加强多变量的计算能力的培养;提升同学们的化简变形能力;加强意志品质的培养,加强几何直观的说明和证明。特别要注意:重视非标准方程向标准方程的转化,避免非标准方程下基本量的求解出错;不要受思维定势的影响,圆锥曲线的焦点位置,特征量的表示及几何意义;考虑直线斜率不存在的情况;求动点的轨迹方程后注意变量的范围;直线与圆锥曲线联立后考虑二次项系数是否为0以及有根条件;求最值的过程中进行换元注意新变量的取值范围。

例3 已知点C为圆(x+1)2+y2=8的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆的半径C P上,且有点A(1,0)和A P上的点M,满足

(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程。

(2)若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切,与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,当时,求k的取值范围。

解析:(1)由题意知MQ是线段A P的垂直平分线,所以|C P|=|Q C|+|Q P|=,故点Q的轨迹是以C,A为焦点,焦距为2,长轴为的椭圆,所以故点Q的轨迹方程是

(2)设直线l:y=k x+b,F(x1,y1),H(x2,y2)。直线l与圆x2+y2=1相切⇒

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线l:y=k x+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求原点O到直线l的距离的取值范围。

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=k x+m,得(4k2+1)x2+8k m x+4m2-4=0,依题意,Δ=(8k m)2-4(4k2+1)·(4m2-4)＞0,化简得

【同步练习】

1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和P。

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ)。

(1)求椭圆C的标准方程。

(2)已知O为坐标原点,直线l:y=k x+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点。若存在实数λ,使,求实数m的取值范围。

图1

(1)求椭圆E的方程。

(2)若A,B分别是椭圆E的左右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线A P交l于点M。

①设直线OM的斜率为k1,直线B P的斜率为k2,求证:k1k2为定值;

②设过点M垂直于P B的直线为m,求证:直线m过定点,并求出定点的坐标。

【参考答案】

(2)由题意知,ξ的取值为0,1,2,3。

所以ξ的分布列如表6所示。

表6

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去y并整理得(4+k2)x2+2k m x+m2-4=0,依题意可得:

(2)①设P(x0,y0)(y0≠0),则直线A P的方程为,令x=2,得所以

所以直线m过定点(-1,0)。