在小学数学课堂教学中渗透“数形结合”思想的案例研析

陈仕军

摘 要：数学的本质特性之一是抽象性。然而，小学数学教学要求抽象的东西形象化，又通过直观的形象来深化抽象的内容。数形结合的思想就是通过数形之间的对应关系来研究问题、解决问题。通过数形结合，可使抽象复杂的数量关系变得直观、易理解、易接受；将直观的图形数量化，转化成数学运算，可以降低难度，使理解更加深刻。数学家华罗庚所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。正说明了数形结合思想的重要性，对提高学生的数学能力与促进思维品质的发展有着独特的价值。《义务教育数学课程标准》也指出课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力。发展学生的空间观念、数感和符号感在本质上讲就是一种数形结合思想，这三个目标之间并非相互独立，而是一个互相联系、相辅相成、密不可分的统一体。教师在教学活动中应抓住其中蕴含的数形结合思想，引导学生能够全面、深入、准确、认真地思考问题，抓住事物的本质、规律和内在联系，重视它们之间的协调发展，这对提高学生数学核心素养有着重要的意义。

关键词：数形结合；数学课堂；数学思维；数学核心素养

一、以图识律，培育数学兴趣，提高抽象思维能力

对抽象的数学算式、代数式给予直观形象的推证解释，以直观图形解释数学公式和数学规律，使得学生数形思想同步发展。例如学生在课堂中学习乘法分配律时都经历“实例—感知—验证—判析—抽象—定义”这么一个思维过程，从大量的数学实例中学生初步抽象出运算规律，但尚不能进行数学思维层次上的推证。就小学高年段学生来说，他们具备较强直观形象思维能力，抽象思维能力正在发展，我们可以借助下面的课堂活动将这一运算规律予以推证和说明。

课堂活动要求：这是由两个小长方形拼成的大长方形，请用含字母的式子表示出大长方形的面积。

数学课堂活动：

（1）观察大长方形面积的要素：a（b+c）=大长方形的面积

（2）观察大长方形面积的构成：ab+ac=大长方形的面积

综合比较两次得到的结果，分析后自然推得：a（b+c）=ab+ac

课堂提问：“仔细观察，看到这个结论，你能想到我们曾经学过的什么运算律？”学生：“这就是乘法分配律啊！”“原来还可以这样验证乘法分配律！”“我们发现乘法分配律的证明用图表示出来更直观！”……由于学生在不知不觉中参与了数学运算律揭示的过程，思维水平自然有跃进，数学学习的兴趣亦更加浓厚。

结合目前现代数学课堂中丰富的信息化教学手段，将下面的这些运算定律更形象地展示给学生，数学不再单调。

1.课堂多媒体动态演示：

（1）先动态闪动线段a与线段b合并，再以合并后的线段与线段c合并；

（2）先动态闪动线段b与线段c合并，再以合并后的线段与线段a合并。

动态比较两次总长度，揭示加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）

2.课堂多媒体动态演示：

（1）小球从左至右滚动距离a，再滚动距离b，整体闪动小球滚动的总距离；

（2）小球从右至左滚动距离b，再滚动距离a，整体闪动小球滚动的总距离。

动态比较两次总长度，揭示加法交换律a+b=b+a。

3.课堂多媒体动态演示：

（1）闪动长方形宽a，向右平移距离b，形成完整长方形；

（2）闪动长方形长b，向上平移距离a，形成完整长方形。

动态比较两次长方形面积，揭示加法交换律a×b=b×a。

4.课堂多媒体动态演示：

（1）闪动长方体框架底面（a×b），向上运动，形成完整长方体；

（2）闪动长方体框架右侧面（a×b），向左运动，形成完整长方体。

动态比较两次运动的结果，揭示乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）

在数学课堂活动中，借助现代数学课堂教学手段，在提高学生空间观念的同时，揭示抽象的数学运算律，“以形识数性”，把握数学本质，提高学生数学抽象能力。

二、借数观图，感悟事物本质，提升数学学习深度

以已有的知识经验解决实际问题是学生数学素养的重要体现，也是数学课堂教学活动达成性指标之一，是学生思维发展水平最直接的反映。借助数学规律和数学性质解决直观几何问题，实现“化难为易、化繁为简”。就数学中的“相等的两数同时减去（或加上）一个数，所得的差（或和）也一定相等”这一性质，在学生储备足够的数学经验后，他们不仅能理解，也能举出实例说明。数学课堂中我们以字母把它抽象概括出来：“若a=b，则a-c=b-c或a+c=b+c”。这既是对学生数学建模能力的培养，也是数学深度学习的需要。

在学生理解这两个等式后，让他们思考下一题。

如图讨论：阴影部分三角形ABC和三角形ECD面积之间的关系。

学生讨论分析：三角形ABE面積等于三角形ADE面积，因此这两个三角形同时减去三角形AEC的面积后，所得到两个新三角形的面积也相等（借助多媒体演示使教学更直观、形象）。

我们的教学不能仅停留在问题的求解上，应适时引导“本题的解答实际上运用了数学的什么性质？a-c=b-c”，从而建立数学性质与直观几何之间的关系，为学生用代数知识解决几何形体问题搭起桥梁，提升“数形结合”的能力，感悟事物本质，培养学生创新思维。

为进一步拓展学生思维的深度，教师可以设计这样一道题由学生自主探索解答。如图求阴影部分面积：

综合评析时，引导学生思考我们运用了什么数学性质？

（注：长方形ABCD面积=长方形DEFG面积）

三、数形相辅，深化数学体验，增强数学课堂厚度

在小学数学课堂中有机渗透数形结合思想，对于培养学生数感、符号感和空间观念，发展学生思维能力，提升动手实践、自主探索、合作交流的能力大有裨益。教师在教学平行四边形面积公式的推导时，通常会组织学生开展小组活动，把平行四边形剪拼成他们已有的知识经验——长方形。

学生在课堂操作实践活动中的剪拼方法归成两大类（如下图）：

对比拼成的长方形与原来的平行四边形的关系，推导出平行四边形的面积计算公式：S=a×h。

在学生具备上述知识的基础上，不少教师都让学生练习过这样一道题：已知题中的三个量，求一个未知量。

这对多数学生而言解答并非困难，也能得到数学等式：a×b=c×d。a×b和c×d都表示同一个平行四边形的面积，教师在课堂教学过程中往往都能评析到，并对等式的合理性作出解释。但如果教师有意识地培养学生的“数形结合”思想，就可以对这一教学资源作进一步挖掘。结合图1，在引导学生在观察平行四边形面积推导的剪拼方法后，帮助学生在头脑中形成a×b与剪拼方法一，c×d与剪拼方法二之间的对应感观，必将促进学生数学思维能力与空间观念的协调发展，我们的数学课堂也必将变得更厚实。

四、数图相融，沟通纵横联系，建构单元知识框架

在学生数学思维发展的过程中，数学概念则是思维的细胞，是空间形式和数量关系以及它们的本质属性在学生思维中的体现，他们对概念的理解达成度是其数学思维深刻性与灵活性水平的反映，是作为数与形的抽象概括的结果之一。数学概念仅凭精讲，学生对概念的本质难以产生全面深刻的理解，数学课堂教学中，辅助图形、表格等直观形象，不但可以帮助学生正确理解概念，而且利于他们建立知识间的纵横联系，形成他们自己的“数学知识树”。

在“数的整除”单元复习时，出示数字“1、2、3、4、5、6、7、9、12、24、30、36，提问：根据给出的这些数，自由选择一些数（可以是1个，也可以是多个）用本单元知识说一句话”。启发学生打开思路后，教师将相关概念名称“倍数、因数、整除……”展现在投影上。

弄乱屏幕，引导学生整理这些概念，让视觉效果更好，概念关系更有条理。

课堂中，一个概念位置的摆放也会引发争论，但学生思维打开了，收获了很多，得到多彩的整除单元知识结构图，这里举一例。如下图：

图2解释整除与除尽之间的从属关系。

图3解释非0自然数按因数个数分成三类呈现的并列关系。

在这样的数学课堂中，“数图相融”，以直观图形展现数学抽象的概念及其之间的关系，学生更易于消化概念之间的内在联系与本质区别，形成单元整体知识结构。

五、数形协调，演绎数学抽象，积累数学建模经验

小学阶段学生的学业水平和数学学习能力往往在他们的计算正确率、解题策略的运用上有所体现，但教师在教学中不让学生对计算法则（或方法）经历一个探索、理解、发现的过程，那么学生只能一味地接受知识的灌输，其能力与创新思维只会被压抑而非得以发展。例如在分数乘分数的课堂学习后，学生都能掌握“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”这一计算方法。可教师若能充分认识到“数形结合”思想在课堂学习中的重要价值，再去思考设计教学活动，就可以让不同学生在数学学习上获得不同层次的发展，帮助学生积累数学建模经验。

在数学课堂的教学中一直有着两条线：一明一暗，数学知识作明线，数学思想方法為暗线。然而，今天我们的数学课堂中，教师往往习惯以“知识的达成度、目标的有效性”去评价一节课的优劣，而忽视了数学思想方法在课堂上有意识地渗透。知识可能会遗忘，而数学思想方法一旦在学生头脑中成形，必将让学生受益终身。小学阶段是学生数学思维由具体形象到抽象逻辑的重要过渡阶段，“数形结合”思想方法在课堂中的渗透教学对于培养学生的数学核心素养能力有着独特的价值。教师在数学课堂教学中应根据教学内容，深入剖析研究教材、挖掘教材中多项资源，有意识地渗透“数形结合”思想，扬数之长、取形之优、数形相辅、数形互助，必然会让学生数学核心素养能力的培育在数学课堂生根发芽，熠熠生辉！

编辑 高 琼