一道题、一条线、一节课——《一元二次方程根的判别式》的课堂教学有感

新疆乌鲁木齐市第十三中学 张清华

一、温故引课

开课我先复习板书了一元二次方程的一般形式和求根公式：

同时带学生复习了根的判别式的作用，板书出根的判别式与一元二次方程根的三种形式：

b2-4ac＞0 一元二次方程有两个不相等的实根；

b2-4ac=0 一元二次方程有两个相等的实根；

b2-4ac＜0 一元二次方程没有实数根。

二、新知探索，归纳整理

1.出示方程：（m-1）x2+2mx+m+2=0，请学生指出方程中的a，b，c。a=m-1，b=2m，c=m+2。

2.提出质疑，让学生去设计探索：若我们要探索这个方程根的情况，你可否设计一道题目？（在此让学生进行自主探究，并通过实物展台让学生展示自己设计的问题，之后教师进行题目的归纳）

类型1：

（1）关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________。

（2）关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有两个相等的实数根，则m的取值范围是____________。

（3）关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

没有实数根，则m的取值范围是______________。

类型2：

（1）关于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________。

（2）关于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有两个相等的实数根，则m的取值范围是____________。

（3）关于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有实数根，则m的取值范围是______________。

和学生一起归纳以上的题目，引导学生进行观察、分析、汇总。

三、例题精讲，题后反思

汇总归纳中将以上各题逐一讲解完成，之后从以上题目中选取几个作为例题重点板书讲解，以规范书写格式。

例1 （1）关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

当m_______时，方程有两个不相等的实数根。

【设计意图】 通过此例题的设计，让学生掌握书写格式。

（2）关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0有两个实数根，求m的取值范围。

【设计意图】 此题设计的目的是改变问法，同时强化学生解题时要关注a是否为字母，进而强化不忽视a≠0这一条件。

变式1：关于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，当m取何值时，方程有实数根？某同学的解法如下，你认为正确吗？如不正确，如何改正？

在此让学生进一步讨论后再作答，将此题目与例1作比较，加强审题中注意细节变化。

【设计意图】 此题难度上升，让学生关注“关于x的方程”与“有实根”这两个知识点的把握，同时板书过程，以规范学生的书写。

变式2：关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0没有实数解，化简

解：a=m-1，b=2m，c=m+2，

∵方程没有实数根，

∴8-4m＜0且m-1≠0，解得m＞2。

【设计意图】 此题设计的意图：（1）当8-4m＜0且m-1≠0 时，解出m＞2，已经存在m≠1，所以最后的结论只有m＞2，这一细节是学生易错的点，再次通过此题加以强化；（2）将此类题与其他的知识点融合在一起，加强知识的综合应用。

【归纳整理】 完成这几道例题后，及时带领学生加以归纳总结，如下：

1.见到题目先要关注前提条件是“关于x的方程”还是“关于x的一元二次方程”；

2.若是一元二次方程，千万莫忽略了“a≠0”。

四、巩固拓展、提高延伸

出示两个不同的题型，让学生熟悉根的判别式的应用。

1.求证：关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0恒有两个不相等的实数根。

2.关于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0的根的判别式为4，求方程的根。

五、课后小结，思路汇总

提问学生反思：通过本节课的学习，你最大的收获是什么？

之后一起归纳：

（1）见到“实数根”，先看是“关于x的方程”还是“关于x的一元二次方程”，判断解题方法；

（2）“关于x的方程”与“实数根”同时出现，要特别注意分类讨论，不要忽略了方程为一元一次方程的情况；

（3）“关于x的一元二次方程”见到了“实数根”，要想到计算“根的判别式”，且莫忘“a≠0”。

在学生的动手动脑中，本节课的重难点得以逐步解答和强化，尤其是在学生的参与中，将细节变化中可能出现的问题及时呈现反馈，且得到仔细的分析比较，使学生对此知识的理解起到了很好的作用。

总之，一节课，一道题，一条线，变化中得到拓展，探索中得到升华。数学课堂的精彩在于此，数学教学的魅力也在于此！

[1]刘作兵.一元二次方程的教学反思[J].科学咨询(教育科研)，2012（07）.

[2]赖宁.关于《数学课程标准》中一元二次方程的内容研究[D].西南大学，2008.