高考命题的热门话题

贾炳麟 贾冬婷

最新《普通高中数学课程标准》（2018年1月第1版）中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析;2017全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.

一、弘扬传统数学文化，考查人文素养

中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.

例1   （1）（2017·全国卷Ⅰ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（  ）.

A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏

（2）公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.右图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为 .（参考数据sin15°≈0.258 8，sin7.5°≈0.130 5， 3 ≈1.732）

解析  （1）设灯塔的顶层有x盏灯，则各层的灯数an构成一个公比为2的等比数列{an}.

依题意，得 x（1-27） 1-2 =381，解x=3.B项正确.

（2）n=6，S= 1 2 ×6sin60°= 3 3  2 ≈2.598<3.10，執行循环.

n=12，S= 1 2 ×12sin30°=3<3.10，执行循环.

n=24，S= 1 2 ×24sin15°=3.1056>3.10，满足条件，

∴输出n的值为24.

核心素养探究：本例从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.全国I卷第2题以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算问题.浙江卷第11题以我国古代数学家刘徽创立的割圆术为背景，创设问题情境.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出本身.

二、创设情境，考查数学抽象与逻辑推理素养

数学抽象是最核心的数学素养，是形成理性思维的重要基础;逻辑推理是根据数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.

例2   （1）（2017·全国卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（  ）.

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

（2）（2017·全国卷Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来是20，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：N>100且数列的前N项和为2的整数幂.那么该软件的激活码是（  ）.

A.440 B.330 C.220 D.110

解析  （1）由题意知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人一个是优秀一个良好，因此，甲、丁两人一个优秀一个良好.则乙看了丙的成绩，可知道自己的成绩，丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩，选项D正确.

（2）设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的3项为第3组，依次类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为 n（n+1） 2 .

由题意知，N>100，令 n（n+1） 2 >100，所以n≥14，n∈ N *， 即N出现在第13组之后.第n组的所有项的和为 1-2n 1-2 = 2n-1，前n组的所有项的和为 2（1-2n） 1-2 -n=2n-n-2.

设满足条件的N在第k+1（k∈ N *，k≥13）组，且第N 项为第k+1组的第t（t∈ N *）个数，第k+1组的前t项的和2t-1应与-2-k互为相反数，即2t-1=k+2，所以2t=k+3，t=log2（k+3）.

所以当t=4，k=13时，N= 13×（13+1） 2 +4=95<100，不满足题意;当t=5，k=29时，N= 29×（29+1） 2 +4=440，当t>5时，N>440，选A.

核心素养探究：考题1对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.考题2以“新知识开幕”，在创设情境中考查等差、等比数列的求和公式，融入“和”与“通项”的关系，与生产生活、社会热点相结合，演化新问题，考查考生的数学建模、逻辑推理、数学计算等数学核心素养.

三、应用创新，考查数学建模与数据分析素养

应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.试题新颖灵活又不太难，广泛又有科学尺度地考查数学创新意识和数学建模解决问题的能力.

例3   （2017·全国卷Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率;

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 % 的把握认为箱产量与养殖方法有关;

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.

解  解题过程（略），请读者完成.

核心素养探究：本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第（1）问是根据频率分布直方图估计事件的概率，第（2）问是根据整理的数据进行独立性检验，第（3）问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效地考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力，突显数学直观想象、数据分析与数学建模运算等数学核心素养的考查.

由此看出，数学高考复习要立足狠抓基础，回归教材，重视教材“阅读与思考、探究与发现”的挖掘，从中感悟到数学文化与高中相关数学知识之间的密切联系;认真分析高考数学试题，明确最新“考情”，发挥高考母题的潜能;注重通性通法，加强应用性问题、创新性问题，渗透数学文化试题的训练，提升学生数学核心素养.