对“小数乘整数”的教材编排的思考

江苏淮安市白鹭湖小学（223001）

“小数乘整数”编排在苏教版教材五年级上册，教材设置现实情境，隐含问题，通过观察、猜想、验证等程序，以及不完全归纳法，推断出“小数是几位小数，积就取同样多的小数位数”的结论。换句话说，教材对于小数乘整数的法则推导，是基于有限个个案进行不完全归纳而得出的。笔者认为这种做法有待商榷。

一、质疑不完全归纳法的科学性

不完全归纳推理是通过随机抽样并对比若干个考查对象，从中概括出研究材料的普遍特征。在小学阶段，大部分数学结论都是通过不完全归纳法得出的，并没有经过严密的逻辑论证，这主要是顾及学生的思维状态、心理接受能力、智力发展水平等因素。因此，教材根据计算器的计算结果，只是让学生观察乘积的小数位数和因数的小数位数之间的关联，运用的是简单枚举归纳法。在进行不完全归纳的过程中，教材只是研究确定了考察对象的部分元素，但是做出的结论却是针对全体研究对象的，缺乏说服力，其科学性和权威性仍需依仗演绎推理来证实，但课本并未给出严谨的演绎推理公式。

二、不可忽视的算理

算法是机械化的，学生只要按照既定程序勤加练习，形成条件反射，在遇到相同或相似模型时，都可以靠经验导出结果。这也表明，曾经的计算教学，我们并没有养成学生边计算边运行算理的思考习惯。课程改革的深入对学生的算理理解能力的要求也越来越高，我们应该提高觉悟：学生需要掌握算法，但计算时更应用算理的心法来指导算法，使算理和算法协调统一，相辅相成。

“为什么乘积的小数位数和因数的小数位数相同？”如果只简单地根据几个算式便妄下断语，充其量是在找规律，不是探究算理。算理的缺位，导致学生对乘法算式只会做程序上的套用，再加上受到加法中“小数点对齐”的负迁移，列竖式计算时错误频发。基于以上事实和反思，笔者认为教材可以做适当改进，在算法中渗透算理。计算方法的练习要以理解算理为基础，通过揣摩和吸收算理来巩固和助力算法，以提高计算的正确率。

“小数乘整数”的算理是什么？华罗庚曾说：“数（shù）起源于数（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”其实每个数都是度量结果的量化记录，是计数单位的累加。整数、小数、分数的加减法莫不如是，都是对同类计数单位的累加或者递减。

对于小数乘整数的算理，也可以从小数的意义以及计数单位的几何倍增角度来理解。以“0.7×3”为例，它表示求3个0.7的和，因为0.7的计数单位是0.1，它里面有7个0.1，于是0.7×3的积里面就有7×3=21（个）0.1，21个计数单位0.1累计起来就是2.1。

对于小数乘小数，以“0.7×0.3”为例，可以从分数的意义的角度考虑，它表示求（一个数）的（比例）是多少。的计数单位是，共包含7个这样的计数单位，也即是拥有7个，于是得到。同理，将中的计数单位分离出来，得到3个，于是得到。综合起来就得到算式，根据乘法结合律变形为，其中的计算后就得到一个新的、统一的计数单位，即0.01，于是得到21个0.01，累计就是0.21。

学生在经历探究后，重新观察、比较积的小数位数与两个因数的小数位数的关系，就能概括出小数乘小数的一般方法：先把两个因数去掉小数点视为整数，计算出整数结果后，再根据两个因数的总小数位数确定积的小数位数。计算时要同步思考的算理：过渡的整数积其实就是新的计数单位的个数。而借助积的变化规律来解释小数乘法中小数点的处理属于科学归纳法的范畴，不能认作算理。

三、教材永远值得完善

教材中素材的安排展现了知识结构，数学教学要高屋建瓴，将学习过程与知识逻辑链接起来。

笔者认为，“小数乘整数”和“小数乘小数”这两个内容应该并作一个教学单元，而苏教版教材将它们分设为两个单元，并在中间插入其他知识，如此一来，小数乘法计算法则的完整性被破坏，学生也很难对计算法则建立系统认知，阻碍了学生计算技能的形成。为了消除不良影响，教师在教学“小数乘整数”时就应传递“小数乘法”算理的强烈信号，对相关计算及时归纳总结，揭示算理，以辅助学生完善认知。

综上所述，教师要做到妥善处置教材编排顺序，并在内容上相互链接印证，避免分散割裂，让教学内容既循序渐进，又经络通达。