浅谈数学抽象在低年级数学教学中的应用

刘顿

摘要：抽象性是数学的一个重要的基本特征。数学抽象可以使教学内容更具数学味，使低年级学生的思维更加灵活。低年级数学教学要根据学生的年龄特点，注意把握具体与抽象之间的关系，需要教师在理解教学内容的基础上，将数学抽象思想灵活应用到教学中，引导学生多操作、多比较、多思考，为学生后续的抽象思维学习奠定基础。

关键词：数学抽象;低年级数学;数学应用

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）12B-0055-03

一、数学抽象的概念解读

1.数学抽象的内涵

抽象一词在拉丁语中的本意是排除、抽取的意思。通常，人们认为抽象有两种不同的意义：其一是用来形容远离具体，因而不太容易理解的对象性质的程度;其二是指从具体情境中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法。在小学数学教学中，抽象是一种基本且重要的思维过程和方法。正如郑毓信教授所说，抽象性通常被认为是数学的基本特性。数学是从量的方面反应客观存在的。在数学的抽象中，完全舍弃事物和现象的质的内容，仅此保留它量的内容。[1]

2.数学抽象的分类

数学抽象根据抽象对象的性质可分为表征型抽象、原理型抽象和建构型抽象。表征型抽象是对事物所表现出来的特征的抽象。[2]与此相关的学习有平面图形或者是轴对称的学习。而对事物内在因果性、规律性、关系性的抽象，称为原理型抽象，比如低年级学习的1元=10角、1角=10分，中年级学习的三角形的内角和是180度等数学学习。最后建立在这些抽象基础上的数学建构型活动就称为建构型抽象，例如五年级学习的质数与合数的概念活动。

数学抽象还可以从抽象过程的特征上分为“理想化抽象”“等置抽象”“弱抽象”“强抽象”。理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象的思维过程，例如在低年级解决问题中遇到的阔线图，就是将具体情境转化成数学关系。等置抽象是指依据某种等价关系抽取一类对象共同特征的抽象方法，例如在低年级的认识数中，一个梨子、一朵花、一支笔等这些在数量上都是1，从中就可以抽象出“自然数1”。弱抽象又称“概念扩张式抽象”，即由原型中选取某一个特征或者侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论，而强抽象是指把一些新的特征加入某一概念中而形成的抽象过程。

二、数学抽象在低年级教学中的研究价值

1.数学抽象让教学内容更加“数学化”

真正的数学课堂是“让学真的发生”的课堂。教师在研究教学时，可以依据学生的已有知识储备情况合理备课，深刻、客观地解读教材的内容。如果学生对具体的情境已经有了充分的感知，具备了表象，教师就要合理安排时间进行适时的抽象。例如一年级学生在学习认识数字1到5时，先是观察情境图，找到数量为1的物体，再从现实情境中找到数量为1的物体。当学生找到大量的数量为1的物体之后，教师就可以将其抽象地概括为：“这些1个的物体我们都可以用1颗算珠表示，为了计数方便我们一般用‘1来表示1个的物体。”这里的1颗算珠相当于是表征的抽象。在教学10以内的加法算式时，教师可以引导学生从具体情境中学会思考。例如“左边有3只鸡，右边有2只鸡，一共有多少只？”这里求的是把左边和右边的数量部分合起来，就是用“3+2=5”来解答。但是，学生可能会在图中整体数出有5只鸡，而不一定会用算式来计算。这时，教师可以相机引导学生明白所有加法的算式都是用这样的数学关系式“一部分 + 一部分=总数”来思考，启发学生在脑海里抽象出这样的数学模型，学会看到任何有关于求总数的问题都会想到用加法来计算。

2.数学抽象让低年级学生思维更加“灵活化”

抽象性是判断一个人的思维发展水平的一个很重要的特征。低年级的孩子处于前运算阶段，需要用大量的操作活动或是生活经验去解决问題。所以，他们只有在具备大量的活动经验和生活经验的基础上才会对所学内容进行抽象。同时，大量的操作活动也让学生的思维更加的灵敏。例如，在低年级认识11—20个数的这节课中，教师并没有直接告诉学生11-20这些数是怎么读和怎么写的，而是带领学生在认识10的基础上，尝试通过摆小棒、数一数的方式掌握要领。教师将10个一根的小棒捆成一捆，表示为“1个10”，引导学生理解：这里的10个1是和1个10是相等的，即1个10里有10个1。如果接着再摆出12根，学生很容易地就会摆出：      。有了这些基础，当孩子看到12，就会想到它是由1个10和2个1组成的，就会对数有更直观的理解。可见，通过动手操作的数数活动，学生的思维从直观走向了抽象。

三、数学抽象在低年级教学中具体的应用

1.计算课中的数学抽象

无论是哪个年级的学生来说，计算最重要的就是理解算理，掌握算法。算理是算法的基础，算法是算理的物化表现，两者并重。算法抽象要充足，它分为三个不同的层次：第一个层次是行为，行为的目的在于能够获得计算结果、积累活动经验，这些是必不可少的;第二个层次是表象，表象的目的在于对行为操作活动的内化和压缩，过渡到半具体半抽象的过程;第三个层次是符号，目的在于能够看着算式说出计算结果，也就是式的运算，它的作用在于能够抽象算法。

例如在教学“两位数加整十数、一位数”时，教师出示45+30，先让学生汇报不同的算法，有的是拨计数器的，有的是摆小棒的，还有的是用口算方法“40+30=70，70+5=75”。这些是学生较为熟悉的解决计算题的方法，同样这也是理解算理的基础。学生通过比较几种算法的相同点后会抽象出：无论哪一种方法其实都是先把几十和几十合起来，再把它们的和与剩下的几个一相加。行为操作的充分体验后是表象操作阶段。这个阶段要求学生不再借助手中的学具，而是根据行为操作的结论，直接观察图片思考算法。教师在屏幕中直接出示算式以及相应的小棒图，启发学生看着图说出具体的计算过程，在说的过程中将算法逐步内化。最后一个阶段，要求学生不操作也不看图，直接看着屏幕中的加法算式说一说具体的计算过程。这就是操作的第三个层次——符号操作。学生经历了三个层次的操作，将算理与算法逐步抽象出来。

2.認识图形课中的数学抽象

表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁。因此学习者在概念形成的过程中，建立事物的共同属性是尤为重要的。例如在最初学习二年级下册“角的初步认识”时，大部分学生对于角的概念是模糊的，会认为某一个点就是角，这是孩子的元认知。为了便于学生理解“角是有两条边和一个顶点的，并且这两边所夹的部分才是一个角”这一特征，需要让学生经历概念从模糊到清晰的过程，所以为他们提供了几种材料（两根小棒、钉子板、毛线、白纸），学生可以任意选择其中的一种材料制作一个角。在制作的过程中，学生逐步体会到：用小棒做角时需要将两边靠在一起就会形成一个顶点;在用钉子板拉角时，认识到毛线必须拉直才会形成角，说明角的两边是直直的;在画角的过程中，同时也体会到如上的两种特征。因此，再次让学生指角时，就不会出现指某个点的情况了。学生从具体的操作活动中，进一步抽象出角的概念及特征。很多认识图形的教学设计都是借助于大量直观的操作体验，使学生逐步感受特征，再逐步抽象出图形的。

3.认识进率课中的数学抽象

进率一般都是在组织学生在实际操作以及数数的过程理解的。在一年级涉及的课有“认识人民币”，在二年级的课中有“时、分、秒”“认识分米和毫米”。这些都是我们生活当中经常接触到的事物，它们来源于生活，是一种生活经验的积累。例如在教学“认识人民币”一课时，基于学生都有买东西的经验，教师设问：“大家那会怎么付1元呢？”学生可能会有“1个1元、2个5角、5个1角和1个5角，10个1角”的方法。经过比较，学生会发现它们都代表1元，区别就在于有的是用元表示的，有的是用角表示的。因此，学生在接下来的学习中，会有意识地进行“1元=10角，1角=10分”类似的转化，即有了操作的经验下抽象出的进率。

总而言之，低年级学生的数学抽象能力的养成并不是一蹴而就的。教师应根据学生的年龄特点，注意把握具体与抽象之间的关系，有目的、有方法地引导学生去多操作、多比较、多思考，为学生后续的抽象思维学习奠定基础。

参考文献：

[1]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社， 2008：2.

[2]刘娟娟.数学抽象在数学教学中的应用[J].教育研究与评论， 2012（8）：4.

责任编辑：李韦

Application of Mathematics Abstraction in Underclass Mathematics Teaching

Liu Dun

（Nanjing Jinling Huiwen Primary School， Nanjing 210000， China）

Abstract： Abstraction is an important feature of mathematics， which can make teaching contents more interesting and make underclass students thinking more flexible. Teachers need to deal with the relationship between concreteness and abstraction according to students ages. Also， teachers need to understand the teaching contents and flexibly apply the abstract ideas to daily teaching practice so that they can guide students to do more operation， more comparison and more thinking to lay a solid foundation for students abstract thinking learning in the future.

Key words： mathematics abstraction; underclass mathematics; mathematics application