基于改进证据理论的结构损伤识别研究

丁怡洁， 王社良， 赵歆冬

(西安建筑科技大学 土木工程学院，西安 710055)

工程结构在其服役期内，由于受到荷载以及突发因素的作用，将不可避免地产生损伤，使得结构的可靠性不断下降，从而威胁结构的安全。为了保证工程结构在服役期的正常使用和安全，国内外许多机构已经着手研究并发展结构健康监测及诊断系统，而健康诊断系统的一个重要环节是传感器的选择、布置及对多源不确定信息的处理技术，该环节决定了如何获得有价值的数据，并从大量数据中为结构状态的快速评估提取相关信息。但是，在多次学术会议上，这一环节被认为是结构健康监测及评估系统中最为薄弱的一环。

近年来，不断发展起来的多传感器信息融合技术以其强大的时空覆盖能力和对多源不确定性信息的综合处理能力，有效地提高了对于结构系统的监测和诊断的能力。目前信息融合技术在土木工程结构损伤识别及健康监测方面的应用主要集中在决策融合层面，所采用的决策融合算法主要有Bayes推理[1]、证据理论[2-3]、模糊逻辑推理[4]等。其中，证据理论由于具有建模灵活与组合机制简单等突出优点，近年来得到了广泛的应用[5-7]。但是，证据理论在处理高度冲突证据及兼容证据时会产生悖论。针对其问题，许多学者提出了改进的证据组合方法[8-10]，但是其中大多数方法采用在原组合规则基础上“打补丁”的方式，组合形式复杂，不能同时解决证据冲突和证据兼容两种问题，或者含有难以确定的待定参数，不能很好地适用于工程结构损伤融合识别。基于上述原因，本文对证据理论存在的问题进行了分析，并通过引入证据损耗观点，对证据组合规则进行了扩展与改进，提出了证据损耗函数与证据倾向因子两个参数的计算公式。数值算例表明，本文提出的组合算法能够有效处理冲突证据与兼容证据，具有更好的抗高冲突性、鲁棒性和聚焦性。本文还对1个3层单跨的空间杆系模型结构进行了多种工况下的损伤识别试验，试验结果表明，与传统损伤识别方法相比，本文提出的融合识别方法能够有效地降低误判，补充漏判，提高损伤识别的准确性。

1 证据理论及其存在问题

设Θ为一辨识框架，m: 2Θ→[0,1]满足：

(1)m(∅)=0

称m为辨识框架上的基本概率指派函数(BPA)。

对于两个相互独立而且完全可靠的证据源m1、m2， Dempster组合规则为：

(1)

Zadeh[11]对证据理论进行了质疑，提出了著名的Zadeh问题：

例1假定在判别命题A，B，C时，由两个独立的证据源提供的BPA分别为：

m1:m1(A)=0.99,m1(B)=0.01,m1(C)=0

m2:m2(A)=0,m2(B)=0.01,m2(C)=0.99

由证据理论可得：

m(A)=0,m(B)=1,m(C)=0

命题B由置信0.01变成了必然事件，这显然是不合理的。Zadeh问题反映了证据理论的高冲突问题。

例2仅对例1中的m2(A)稍加变动，即有：

m2:m2(A)=0.01,m2(B)=0.01,m2(C)=0.98

由证据理论可得：

m(A)=0.99,m(B)=0.01,m(C)=0

可见当焦元的BPA发生微小变化时，组合结果却发生了剧烈的变化。此例反映了证据理论的鲁棒性问题。

例3假定在判别命题A，B，C时，由两个独立的证据源提供的BPA分别为：

m1:m1(A)=0.5,m1(B∪C)=0.5

m2:m2(A∪B)=0.5,m2(C)=0.5

由证据理论可得：

m(A)=0.333,m(B)=0.333,m(C)=0.333

结论是A，B，C是等可能的，但其实没有证据明确支持B。此例中证据冲突程度并不大，它反映了证据兼容问题，即不具有良好的聚焦性。

2 改进证据合成方法

2.1 改进的证据组合规则

由于证据兼容具有更深的隐含性，目前对证据理论的改进主要是针对证据冲突问题。针对这一问题，文献[12]首次提出了证据损耗的观点，说明只有无损证据，即完全一致性组合才是绝对可靠的，其他组合都属于有损组合，有损组合均存在损耗，摆脱了以往文献对证据兼容和冲突简单分类的局限性。

基于证据损耗观点，文献[12]还提出了扩展的证据组合规则：

(2)

式中：c′=1-∑m1(Ai)m2(Bj)Δ。Δ和η分别表示m1(Ai)和m2(Bj)相遇时的证据损耗函数及对A的倾向因子。

由式(2)还可以看出，公式中包含有两类组合项：一致性证据组合与干扰性冲突组合，并没有包含否定性冲突组合项。为了使公式具有一般性，本文将否定性冲突组合加入到组合公式中，使其包含所有的组合项，此时组合规则如式(3)所示：

(3)

即有

m(A)=c′-1∑m1(Ai)m2(Bj)[1-Δ]η

(4)

式中：c′=1-∑m1(Ai)m2(Bj)Δ。

由式(4)可知，证据损耗函数与倾向因子是新的组合公式有别于原Dempster组合规则的两个重要参数，但是文献[12]并没有给出这两个参数的具体计算方法与进一步解释。接下来，本文将对这两个参数作进一步分析。

2.2 证据损耗函数与倾向因子

文献[12]指出， 0≤Δ≤1，完全一致性组合Δ=0，其他组合项的证据损耗按照完全一致性组合、包容性组合、相交性组合、干扰性冲突组合和否定性冲突组合的次序依次增大。本文将其细化归类，将证据损耗函数的取值范围列于表1。

由表1可知，对证据的一致性与证据冲突的细化是以“集合属性”的观点来理解证据理论，不同的证据分类在证据组合时具有不同的属性度量，应当予以区别对待。例如当m1(Ai)和m2(Bj)相遇时，对于A的包容性组合，Ai=A，Bj⊃A，证据损耗应随着Bj的基数，或者说Ai∪Bj的基数增大而增大。相比而言，对于A的相交性组合，Ai⊃A，Bj⊃A，Ai∩Bj=A，为两证据都只部分支持A，证据损耗应当随着Ai，Bj与A的相交程度增大而减小。而对于A的干扰性冲突组合，Ai=A，Ai∩Bj=∅，则意味着一条证据明确支持A，另一条证据对此持完全相反的意见，证据之间产生了冲突。对这样的冲突证据，并不能像Dempster组合规则那样简单抛弃，而是应当有所保留地对A赋予一定置信度，当然，由于有一条证据完全否定A，证据损耗程度比较大。对于A的否定性冲突组合，Ai∩A=∅，Bj∩A=∅，Ai∩Bj=∅， 为两证据都不支持A，所以证据损耗最大，达到100%。

所以，考虑到各种分类的“集合属性”，同时参考Δ的取值范围， 本文给出m1(Ai)和m2(Bj)相遇时证据损耗函数的计算公式：

(5)

式中： ‖表示集合的基数。

表1 证据损耗函数的取值规律

文献[12]表示，倾向因子描述的是同一证据的同一证据项在遇到同一证据的不同证据项或不同证据的同一证据项时表现出不同的倾向性。由于证据理论假定各证据源100%可靠，所以对于A的一致性证据组合项，组合时损耗后剩余的Mass函数应当全部赋予A，故相应的倾向因子应为1。对于A的干扰性冲突组合项，对A的倾向性则可由各证据源对A的信任程度来决定，即有

(6)

式中：fi(Aj)表示证据mi对Aj的信任程度。 它可以是fi(Aj)的信任度函数，或者，为了方便计算，也可以直接取作Aj的Mass函数：

fi(Aj)=mi(Aj)

(7)

故本文给出的倾向因子为：

(8)

2.3 算例分析

采用本文提出的证据组合方法对例1～例3进行分析，组合结果如下：

例1m(A)=0.4998,m(B)=0.0003,m(C)= 0.4998

结果说明A和C具有相同的可信度，B的信任很低，对冲突的处理效果较好。

例2m(A)=0.5218,m(B)=0.0003,m(C)= 0.4779

与例1相比，当m2(A)从0增加为0.01时，焦元A的组合信度也略有提高，组合结果不再出现质的变化，表现出较好的鲁棒性。

例3m(A)=0.3949,m(B)=0.2105,m(C)= 0.3949

可见A和C的组合信任高于B，解决了原Dempster组合规则证据兼容的问题，具有较好的聚焦性。

3 空间杆系结构的损伤识别试验

3.1 试验概况

试验以1个3层单跨的空间杆系模型结构为研究对象。该模型平面尺寸为300 mm×400 mm，每层层高均为400 mm，模型所有杆件均采用外径5 mm，壁厚1 mm的Q235钢管，每个节点处均设有0.5 kg的钢球，模型底部与试验台座固结。试验模型如图1所示。

试验在西安建筑科技大学结构工程与抗震教育部重点试验室进行，采用SIMO的激励方法，采用PCB型压电式加速度传感器采集结构的响应信号，测试并分析了多种工况下模型结构的动力参数变化情况，模型测点布置情况参见表2，试验工况见表3。

图1 试验模型及其构件编号Fig.1 Test model and numbering of elements

表2 激励点及测点布置

表3 试验工况

试验利用DASP V10软件进行模态分析，通过特征系统实现法识别试验模型结构的模态参数。为了与试验分析结果进行比较，采用ANSYS有限元分析软件对试验模型结构进行建模分析。模型采用Q235钢，弹性模量E=2.1×105MPa， 泊松比v=0.3， 密度ρ=7.85×103kg/m3， 所有杆件均采用Link8单元，钢球采用MASS21单元。采用ANSYS的子空间迭代法对结构进行模态分析，得到不同工况下模型结构的前3阶模态。表4给出了不同工况下，模型结构的前3阶模态频率计算结果与试验结果的对比。由对比可知，由于模型误差、测量误差以及数据处理误差的存在，计算结果与测量结果有一定的误差，但误差仍在合理的范围内，因此可以认为两者的一致性较好，从而验证了原始数据的可靠性。

表4 各工况模态频率试验值与计算值

3.2 损伤识别

基于改进证据组合方法的工程结构损伤识别一般模型如图2所示。

图2 基于改进证据理论的结构损伤识别模型Fig.2 Structural damage detection model based on improved evidence theory

选取模态应变能法MSECR[13]、基于频率的MDLAC[14]以及基于模态振型向量的MDLAC′[15]三种方法分别对试验结构进行初步损伤判别，并且将每种识别方法得到的判别结果作为后续损伤融合判别的证据源。

为了构造各损伤证据源的BPA，本文将每种方法得出的损伤系数值都转化为归一化概率的形式，这样亦可直观显示识别方法的判别效果。由上述三种初步识别方法所得的各单元损伤的BPA如图3～图5所示。

图3 MSECR识别结果Fig.3 Detection results of MSECR

图4 MDLAC识别结果Fig.4 Detection results of MDLAC

图5 MDLAC′识别结果Fig.5 Detection results of MDLAC′

由图3～5可以看出，三种识别方法的判定结果有较大差异。其中模态应变能法对前三种工况有相对较好的识别能力，但对于工况4、5则出现了明显的误判与漏判。基于模态振型的MDLAC′法对单损伤识别精度较高，但对多损伤工况均出现了较多误判，而基于频率的MDLAC法则误判率更高。每一种识别方法都无法可靠地进行损伤定位。

采用本文提出的证据组合规则对三种损伤识别结果进行融合判别，识别结果见图6。

对比图3～图6可以发现，相比传统的损伤识别方法，文中提出的融合方法能够充分利用多证据源信息，降低误判，补充漏判，得到比单一判别方法更为可靠的识别结果。其中对工况1～工况4，融合方法有效抑制了前三种方法中普遍存在的误判的干扰，对各个杆件的损伤状态都给出了比较准确的判别。对工况5，在各损伤单元处，融合方法都给出了较高的融合值，但对于无损单元2和单元7，由于模态应变能法和MDLAC法都给出了相当高的信度值，导致融合结果也给出了相对较高的信度。即使这样，对工况5的融合识别结果也明显优于任何一种单一识别方法。

图6 融合方法的识别结果Fig.6 Detection results of fusion method

由识别结果也可以看出，本文提出的融合方法，既不严格要求各证据源提供精确的损伤信息，也不要求各证据之间有良好的一致性。实际上，对于本次试验，对多损伤识别，三种传统识别方法的识别精度都有限，其中基于频率的MDLAC方法误判率尤其高，而且三个证据源之间的冲突程度也是很高的。因此，只要能够提供部分有效信息的损伤判别方法都可以考虑作为融合输入的证据源，这样的要求对于工程结构损伤识别问题而言是比较容易满足的。另一方面，由融合识别结果也发现，当大多数证据源在同一位置处发生误判时会影响最终的融合结果。对于这样的问题，可以通过增加证据源数目予以克服。毕竟本次试验只选用了三个损伤证据源，随着证据源数目的增加，出现多数证据在同一位置处发生误判的机率也会减少。

4 结 论

针对实际应用中证据理论存在的证据冲突与证据兼容问题，本文引入证据损耗的观点，对Dempster组合规则进行了进一步扩展，建立了损耗函数与证据倾向的计算公式，提出了一种新的证据组合方法，并将其应用于土木工程结构损伤识别。通过对1个3层单跨的空间杆系结构的损伤识别试验，对比了传统损伤识别方法与所提出的融合识别方法的识别效果。试验研究结果表明，本文提出的融合方法，既不严格要求各证据源提供精确的损伤信息，也不要求各证据之间具有良好的一致性，具有较好的容错性、稳定性和工程适用性。而且，通过多个损伤证据源联合作用，有利于充分利用多源不确定性信息，提高损伤识别结果的准确性和可靠性。

[ 1 ] LVERSEN G R. Bayesian statistical inference [M]. California: Sage publishing, 1984.

[ 2 ] DEMPSTER A P. Upper and lower probabilities induced by a multi-valued mapping[J]. Annuals of Mathematical Statistics, 1976,38(4): 325-339.

[ 3 ] SHAFER G A. Mathematical theory of evidence[M]. Princeton: Princeton University Press, 1976.

[ 4 ] YAGER R R. Fuzzy logics and artificial intelligence[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1997, 90(2): 193-198.

[ 5 ] 时胜国，于树华，韩闯，等，基于层次诊断的水下结构振动噪声源分离量化[J]. 振动与冲击，2014, 23(9): 33-39.

SHI Shengguo, YU Shuhua, HAN Chuang, et al. Separation and quantification of underwater structural vibration and noise sources based on hierarchy diagnosis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 23(9): 33-39.

[ 6 ] 朱建渠，金炜东，郑高，等，基于多源信息的高速列车走行部故障识别方法[J]. 振动与冲击，2014, 33(21): 183-188.

ZHU Jianqu, JIN Weidong, ZHENG Gao, et al. High-speed train running gear fault recognition based on information fusion of multi-source[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(21): 183-188.

[ 7 ] TAO Y R, CAO L, CHENG G Q, et al. Safety analysis of structures with probability and evidence theory [J]. International Journal of Steel Structures, 2016, 16(2): 289-298.

[ 8 ] LEFEVRE E, COLOT O, VANNOORENBERGHE P. Belief functions combination and conflict management[J].Information Fusion, 2002, 3(2): 149-162.

[ 9 ] SUN Rui, HUANG Hongzhong, MIAO Qiang. Improved information fusion approach based on D-S evidence theory[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2008, 22(12): 2417-2425.

[10] 李文立，郭凯红.D-S证据理论合成规则及冲突问题[J]. 系统工程理论与实践，2010，30(8): 1422-1432.

LI Wenli, GUO Kaihong. Combination rules of D-S evidence theory and conflict problem[J]. Systems Engineering-Theory & Practice, 2010, 30(8): 1422-1432.

[11] ZADEH L A. Review of Shafer’s mathematical theory of evidence[J]. Information Sciences, 1984, 5(3): 81-83.

[12] 徐凌宇，张博锋，徐炜民，等，D-S理论中证据损耗分析及改进方法[J]. 软件学报，1997, 15(1): 69-75.

XU Lingyu, ZHANG Bofeng, XU Weimin, et al. Evidence ullage analysis in D-S theory and development[J]. Journal of Software, 1997, 15(1): 69-75.

[13] SHI Z Y, LAW S S, ZHANG L M. Structural damage localization from modal strain energy change[J]. Journal of Sound and Vibration, 1988, 218(5): 825-844.

[14] CONTURSI T, MESSINA A, WILLIAMS E J. A Multiple-damage location assurance criterion based on natural frequency changes[J]. Journal of Vibration and Control, 1998, 4(5): 619-633.

[15] SHI Z Y, LAW S S, ZHANG L M. Optimum sensor placement for structural damage detection[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2000, 126(11): 1173-1179.