二自由度碰振准哈密顿系统亚谐轨道分析

张思进， 王紧业， 文桂林

(1. 湖南大学 机械与运载工程学院，长沙 410082； 2. 湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082)

机械系统中两组件之间由于各种因素不可避免的存在着间隙和约束，这类系统被称为非光滑动力学系统。这类系统的全局分岔和混沌行为是近年来非光滑动力学领域重要的研究课题。这方面的工作可以在文献[1-3]中找到。

早期的研究中，学者们侧重于局部分析的方法来研究二自由度碰振系统。Amano等[4]采用Poincaré映射方法分析了两质量块碰撞周期1运动的稳定性；Han[5]着重考虑了由弹簧摆和质量-弹簧振子组成的碰振系统，研究了在无切向摩檫力条件下的周期运动的稳定性。对于二自由度碰振系统，碰撞面往往具有不确定性，Li等[6]将绝对坐标转化为相对坐标，应用改进后的李亚谱若夫方法研究了两自由度碰振系统。

近年来，不少学者开始应用Melnikov方法来研究低维碰振系统的同宿轨道、亚谐周期运动以及分岔混沌等动力学特性。Shaw等[7]首先将Melnikov方法用于一个简单的机械系统分析其亚谐运动和混沌特性；Du等[8]应用Melnikov方法分析了非线性碰振振子的同宿分岔；Xu等[9]对碰振振子的研究也取得了相似的结果。Liang等[10]研究了一类分段光滑系统并给出了广义双同宿分岔的条件。有关更多非线性碰振系统的Melnikov方法参见文献[11-13]。

本文运用摄动分析和Poincaré映射方法推导了二自由度准哈密顿碰振振子系统的局部亚谐Melikov函数。此函数用于确定周期运动和非周期运动的参数区域以及极限环分岔条件，并通过数值模拟验证了该函数的正确性。

1 模型系统描述

这里考虑一般的两质量块非线性碰振振子如图1，当x1-x2<δ时， 两质量块碰撞前的控制方程表示如下：

(1)

图1 碰撞振动系统模型Fig.1 Schematic diagram of the vibro-impact system

假设碰撞过程时间非常短暂，可以忽略碰撞瞬间两质量块的位移改变。所以，当x1-x2=δ时两质量块碰撞，由于碰撞过程中动量及机械能守恒，有：

(2)

方程式(1)和式(2)可以改写为如下形式：

(3)

当ε=0时，扰动方程(3)可以表示为：

(4)

为了研究在外部激励和黏性阻尼作用下的双质量块非线性碰振系统(1)亚谐周期运动的存在性，我们通过分析和计算得到了一阶亚谐Melnikov函数的表达式。

2 碰振哈密顿系统亚谐共振的Melnikov函数

对于方程(4)描述的未扰系统碰撞过程比较复杂，这里我们便于分析认为两质量块碰撞面是固定的。引入以下假设：

(3) 共振关系应该满足以下条件

(5)

这里Mj和nj(j=1,2)是互质整数。

由于方程(1)中的两个表达式类似，这里我们仅分析前一个方程的扰动轨道，可以用相同的方法分析第二个方程。当x1-x2小于δ时， 扰动轨道Xε(t,t0)是光滑的，因此可以将其展开成泰勒级数的形式，如下：

Xε(t,t0,ε)=Xα(t-t0)+εX1(t,t0)+O(ε2)

(6)

为了便于分析，定义以下算子：

Δ(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧Xε(t,t0)

(7)

Δ0(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧Xε(t-t0)

(8)

Δ1(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧X1(t-t0)

(9)

光滑条件下，我们可以得到：

Δ1(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧H(Xα(t-t0),t)

(10)

这里∧表示楔形算子。

图2 扰动系统的局部次谐轨道示意图Fig.2 Sketch of a local-subharmonic orbit of the perturbed system

(11)

由文献[14-15]可知，局部亚谐轨道的一阶Melnikov函数可以定义为：

Mm(t0)=Δ1(t0+mT,t0)-Δ1(t0,t0)

(12)

接下来，重新整理方程(12)可以得：

(13)

采用和文献[16]类似的方法，将方程(9)对时间t求导，得：

dΔ1(t,t0)/dt=DH(Xα(t-t0))×
G(Xα(t-t0),t)

(14)

(15)

(16)

将式(16)代入式(15)，得

(17)

(18)

(19)

注意到未扰轨道是封闭的，所以

(20)

(21)

(22)

前面分析两质量块未发生碰振时，质量块m1的亚谐运动轨道(碰撞面左边部分)，同样的方法可以得到质量块m2的亚谐运动，这里就不再详细介绍。

下面我们重点介绍两质量块发生碰撞时，一阶亚谐Melnikov函数的推导过程。此处将质量块m2的轨道考虑在内，根据碰撞法则两质量块应在同一时刻到达碰撞面处。因此对于两质量块的扰动和未扰动轨道，下列关系式显然成立：

(23)

(24)

(25)

将式(22)～式(25)代入式(21)并结合式(16)，可知：

(26)

又因为：

(27)

方程式(26)可以重新整理得

(28)

由方程式(13)、式(17)、式(18)和式(28)，可以推导出一阶亚谐Melnikov函数表达式，如下：

(29)

(30)

变换积分时间t→t+t0， 那么方程式可以改写为：

(31)

3 亚谐Melnikov函数的应用

3.1 准哈密顿系统模型

(32)

x1-x2=δ时发生碰撞，根据碰撞定理两质量块的速度关系可以表示如下：

(33)

(34)

(35)

3.2 准哈密顿亚谐轨道分析

本章节我们分析两质量块发生碰撞的情况，那么方程(32)可以写成如下形式：

(36)

(37)

当ε=0时， 未扰系统式(36)和式(37)为Hamilton系统，其哈密顿作用量为：

(38)

(39)

未扰系统式(36)、式(37)周期轨道参数方程为：

(40)

(41)

式中：dn(·),cn(·),sn(·)均为椭圆函数。

如果未扰系统没有发生碰撞，那么同宿轨道的周期可以表示为

(42)

式中：k是椭圆模量；K(k)是第一类完全椭圆积分。

然而，碰撞会导致周期轨道破裂，碰撞后的轨道周期为

T(k)=T0(k)-ΔTk

(43)

式中： 2ΔTk是完整轨道在切换面右侧的穿越时间，它可以由接触条件来确定：

(44)

接下来， 考虑1∶1的内共振情况。 假设ω1=ω2=ω那么m1/n1=1,m2/n2=1， 故可得：

T(k)=T

(45)

将式(42)、(43)代入式(45)，可知：

(46)

将式(40)代入式(29)，得：

M(t0)=-bfcosΩt0-2cr0-dμ1

(47)

根据亚谐Melnikov理论，如果扰动系统式(36)存在亚谐轨道，那么M(t0)存在简单零点，因此可得周期为T的局部亚谐轨道的必要条件：

|b|f-2|c|r0-|d|μ1≥0

(48)

将Ω=1,δ=2,μ1=1代入到式(47)，可得：

1.817 37f-0.8r0-4.690 66≥0

(49)

3.3 数值仿真

方程式(49)确定的临界线将参数(r0,f)分为上下两个部分：临界线上方区域是周期性的，临界线以下的区域呈现出非周期的特性。为了验证前面的理论分析，这里取从点1到点5(如图3)五个不同的系统参数来模拟二自由度碰振系统的周期运动和非周期运动状态。

下面图4～7是五个点的运动仿真相图，细实线与粗实线分别代表质量块m1和质量块m2的运动状态。当取值位于临界线下方时，系统可能会出现混沌状态。

图3 局部亚谐轨道参数区域Fig.3 Local subharmonic parametric region

图4 单碰周期1运动(点1取值)Fig.4 The single impact period-1 motion of the vibro-impact system (the value of point 1)

图5 单碰周期2运动的时间历程图和相图(点3取值)Fig.5 Phase portrait of the single impact period-2 motions for the vibro-impact system (the value of point 3)

图6 双碰周期2运动的时间历程图和相图(点4取值)Fig.6 Phase portrait of the double impacts period-2 motions for the vibro-impact system (the value of point 4)

图7 混沌运动的相图Fig.7 The phase portrait of chaotic motion of the vibro-impact system

由上面仿真相图分析可知， 令f=f1=f2=3， 其他参数κ1=0.1,κ2=0.2,εr=0.5,μ1=0.01,μ2=0.01,ω1=2,ω2=2时，图4(点1取值)表明碰撞系统存在单碰周期1运动； 当系统参数f的值增加到6的过程中周期运动消失，随后出现了混沌运动的情况相应的相图如图7(a)(点2取值)所示。然而与图7(a)相比，保持f=6不变，εr从0.5增加到0.85的过程中系统又从混沌运动的状态变化为了单碰周期2运动如图5(点3取值)。

此外， 当f1=f2=6,εr=0.75,ω1=4,ω2=4其余的参数保持不变时，图6(点4取值)表明碰振系统发生了双碰周期2运动。 类似地， 当参数f的值从6增加到10时，双碰周期2运动消失混沌运动状态再次出现，相应的图如图7(b)(点5取值)。这些数值模拟结论从而更好的验证了前面一阶Melnikov函数理论分析的正确性。

4 结 论

本文应用改进后的局部亚谐Melnikov方法来研究具有立方项和外部激励的二自由度非线性准哈密顿碰撞系统，此方法可以用于确定非线性碰振系统亚谐轨道的存在性。

(1) 推导得到的亚谐Melnikov函数将系统的参数区域分为周期区域和非周期区域两个部分。

(2) 系统以频率ω等为分岔参数，数值仿真得到了碰撞系统的运动状态，由单碰周期1运动、单碰周期2运动、双碰周期2运动，然后进入混沌运动。也验证了Melnikov方法分析二自由度碰振系统亚谐运动的有效性。

(3) 适当控制阻尼系数μ及力f的取值，尽可能避免系统出现多周期和复杂的混沌运动，实现系统的稳态运动。同时，为此类碰振系统的研究提供理论依据。

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