以一道调研考题为例思考高三解析几何解题教学

东莞实验中学(523120) 王铁成

1.问题的呈现与提出

例 东莞市2017届高三第二次模拟考试(文数)第20题:已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率是且经过点,椭圆C的右顶点为A.

求(I)椭圆的标准方程.

阅卷完成以后,我所教的两个班(89人)的统计结果如表1-1:

表1 -1 学生成绩统计表

一道如此常规的圆锥曲线题目考出了如此不常规的结果,得分大跌眼镜.于是我借“市二模”的噱头和63名学生进行了谈话得出如表1-2的情况.

学生困惑归类如下:

(i)审题不给力,题目中的点(包括定点和动点)过多,无法提取有用信息.

(ii)找不准切入点,斜率与动点之间的联系,太过复杂,无法搭桥.

(iii)运算素养低,担心运算量过大,影响其他题目的作答.

总之给学生的感觉是解析几何试题是“繁”“杂”“难”.

2.问题的分析与解决

数学学习离不开解题,一方面学生对数学概念的理解和掌握往往通过解题来表达和完善,另一方面数学问题也是展现数学方法、锤炼数学思维、提升数学核心素养的重要载体,因此解题是数学课堂教学不可或缺部分.波利亚教授在《怎样解题》里把解题分为:弄清题意、拟定计划、执行计划,回顾.鉴于学生的数学运算素养的不足,多数学生陷入辨不清的运算泥沼里无功而返,我先带领学生“弄清题意”和“拟定计划”,即有什么用什么,求什么找什么,一起绘制较为简洁的思维导图.建立了所有已知量和未知量的联系,清晰明了的展示题目的整个解决过程,用图示解决学生的困惑(i)(ii).

表1 -2 学生答题情况统计表

2.1 导图指路,历学生之所难

有了上述思维导图的明晰指示,学生迫不及待看到这就是平常解题的“基本套路”.于是很多学生开始设直线PQ的方程,与椭圆方程联立,开始一本正经的算,算了一会学生有的抬头一片欣欣然,有的愁眉苦脸,算不到.此时教师要站在学生的角度适时分析点拨.这就像从这里去深圳,虽然设置好了导航,但是还是要去实施,这其中是要做好多工作的.这是解析几何最基本的思想—坐标思想,即由数学运算解决几何图形的问题.有的学生设了方程y=k(x-1),忽略了什么问题?学生1回答:没有考虑斜率不存在的情况.很好,如何避免呢?学生2:可以单独讨论,也可以将直线方程设成.好,我们就按着学生2的思路一起往下算,我请了学生3和学生4在黑板上算,其他学生边算边监督.以下是学生3和学生4的板书:

4分钟后学生3和学生4完成了思维导图的设定的计划,但是题目还要求范围呢?谁来解决接下来的问题?怎么解决?学生5回答说:我采用了导数的方法,出乎我的意料,跳出了标准答案的基本不等式法.于是在班级里,两组学生使用导数法,另两组学生,使用基本不等式法求k得范围.学生5补充板演:

学生6则按老师的提示用基本不等式得到结果.

当直线PQ的斜率的为0时,R与坐标原点重合,AR的斜率是0,所以直线AR的斜率的取值范围是.最后统计学生做题结果时,我们发现,整个过程用时大约10分钟,求范围时用导数方法做的有24人次,做对的有15人,其余在求导画图时出了问题(没有注意到当m＜0时,k＜0;m＞0时,k＞0)求最值不准.用基本不等式方法做的有20人次,作对的有7人,因为对m的正负处理不了,想不到加绝对值等.到这我想,对于困惑(i)(ii)基本解决.如果我们仅仅告诉学生:联立,基本不等式就过去了,那么学生下次学生还会错,不会有任何改变.只有我们稚化思维,带领学生一起去经历探索、发现,尝试解决问题,不断的反思和深化,才能把这种能力在学生心中埋下种子,酝酿、发芽、生根,从而生成数学运算核心素养.

2.2 成岭成峰,探学生之所想

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同角度看问题会有不同的感受;“条条大路通罗马”,到达目的地的方式不止一个.换一种视角去观察,换一种方式去思考,换一种心境去感悟,也许会有意外的惊喜.我的总结话音刚落,学生7站起来说:“我们的困惑(i)就是点坐标里变量多,有什么办法可以减少参变量呢?”我愣一下,虽然可能会冲淡本节课主题,但还是决定不要磨灭学生7的瞬间的美妙思维.我说那我们就一起探索一下吧.高中阶段,我们学过哪些内容可以减少变量呢?参数方程是个不错的选择.学生8说:“那是选择直线的标准参数方程还是椭圆的参数方程?”,你说呢?学生8思索了一下说:“直线的,因为直线PQ不过原点,选择椭圆P、Q点需要两个角来表达,而直线就用参数t就可以了”,好,我们来试一下,老师写,你们指点并监督.

设P,Q点对应的参数分别为t1,t2,点R所对应的参数t0,

这个结果是我没有想到的,最后的斜率表达式居然这样简单、漂亮,对于解决困惑(iii)的帮助非常大.疏于预设,精彩生成,应该就源自于此吧.课堂教学价值取向的最重要一点就是:是否提高了学生的数学核心素养.提高学生的核心素养并不是一句空话,而是需要去实践,最好的载体当然就是课堂,这是一场没有预约的美丽.

2.3 深入浅出,思学生之所惑

文献[1]说作为教育数学的解析几何应该具有:会用运动变化的思想处理数学问题和现实问题,提升学生的学习力,增强他们的探究能力和创新意识,利于发展学生的科学精神、理性精神、创新精神,提升学生的数学核心素养.对于此类型题,关注完基本解法后,我们还可以做如下导图:

2.3.1 点差法求R点的轨迹方程

如果我们深入一个层次思考这个问题,从运动变化的角度去思考问题,按上图的思路去思考问题,怎样求R得轨迹方程?学生9回答:“可以采用解法1的联立,然后消掉参数m,但是消参运算量会很大,不如直接使用解法1.注意到R是PQ的中点,我们可以采用点差法.”很好,分析的条理清晰.下面我们一起来实现学生9的思路.

第(II)问 设P(x1,y1),P(x2,y2),R(x0,y0),则有点差法有

2.3.2 常用结论求R点的轨迹方程

文献[2]里谈到,若点P是“有心圆锥曲线”的弦AB的中点,其中AB不平行于对称轴且不过曲线中心O,则kAB·kPO=e2-1,称作是圆锥曲线中的垂径定理(用点差法证明).

设R(x0,y0)由圆锥曲线中的垂径定理,由kPQ·kOR=e2-1得-1得到-=0以下同解法3.

著名教育家苏霍姆林斯基说:在科学知识的大海里,我们所教给学生的教科书里的那点基础知识,应当只是沧海一粟.教师的高度与学识决定学生的高度与学识,深入学习,奉行深入浅出的教学信条,如果学生采用了解法(2)(3)(4),学生的困惑(iii)还是困惑吗?考试中,解析几何的试题应该会从得分的失地转为分数的增长点.

3.问题的探究与反思

第斯多惠说“一名坏的教师奉送真理,一名好的教师教人发现真理”.文献[3]谈到“将数学作为一个现成的产品来教,留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用,其实就是做问题.这不可能包含真正的数学,强有力做问题的只是一种模仿的数学······长期以来所教的沉闷的模仿数学,不是有效的数学,而是无价值的数学.”如果仅仅满足于上述,本题的教育价值难以得到体现.

3.1 仿射变换,“圆”来完美

我们中学的解析几何体系中,除直线外,最简单的曲线就是圆.另外在初中我们有学过很多平面几何的优美定理,对于降低解析几何运算量至关重要.如何联系椭圆和圆之间的关系呢?学生都有知识储备,但是无法提取应用的内容是:选修的仿射坐标变换.椭圆=1经过s=x,t变换成圆s2+t2=a2,在圆中完成相关量的运算之后,通过逆变换回到椭圆中.如下图

3.2 溯源探流,趋于通透

本题的背景是椭圆,最简单的联想是:

1.背景换成圆、双曲线、抛物线动点R轨迹又是什么?

在软件GeoGebra的支持下,可以清晰地“看”到轨迹的变化过程:

命题2已知圆C:x2+y2=r2,过点B(m,0)(m/=0)的直线交椭圆C于P,Q两点,则线段PQ的中点R的轨迹是以OB为直径的圆(或者圆的一部分)如图2.

图1

图2

图3

图4

命题4已知抛物线C:y2=2px,过点B(m,0)(m/=0)的直线交椭圆C于P,Q两点,则线段PQ的中点R的轨迹是顶点为B的抛物线.如图4.

囿于篇幅,命题证明略(可使用点差法证明)

波利亚说,“好问题类似于采蘑菇,采到一个后还应四处看看,也许还有更多.”通过不断地变换背景,变化定点的坐标,在发现“蘑菇群”的同时也构建了一个命题网络,例如我们改变求AR的斜率为求线段长.于学生而言,登高望远,收获的不仅仅是知识,更重要的是享受了成功的喜悦.在“源与流”的探寻中,思维水平和解题境界有了真切的提升(命题推广中的类比合情推理,直观想象与逻辑推理的相互关照等),切实在学数学知识与技能的同时,生成数学核心素养.