合理设计导学案,让中考复习走向高效—中考一轮复习之“图形的变换”设计

江苏省南京市钟英中学(210002) 袁秀

在中考复习过程中,数学教师经常面临这样的困境:要复习的知识点多,资料纷繁,不知如何整合、优化设计,使得中考复习即能起到复习巩固的效果,又能从已有知识中学到新的内容,从而提高中考复习课堂效率.现结合笔者最近开设的中考一轮复习之“5.1图形的变换”的研究课,谈谈优化设计导学案的一些做法与想法,以供大家研讨.

一、案例呈现

【课 前热身】

1.下列几何图形中,一定是轴对称图形的有(）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.将左图所示的图案按顺时针方向旋转90◦后可以得到的图案是(）

3.如图,△OAB绕点O逆时针旋转80◦到△OCD的位置,已知∠AOB=45◦,则∠AOD等于(）

A.55◦B.45◦C.40◦D.35◦

(第 3 题)

4.将线段AB向右平移1cm,得到线段A′B′,则对应点

5.如图,菱形 ABCD(图1)与菱形 EFGH(图2)的形状、大小完全相同.

图1

图2

(1)如果图1经过一次平移后得到图2,那么点A、B、C、D对应点分别是____;

(2)如果图1经过一次轴对称后得到图2,那么点A、B、C、D对应点分别是___;

(3)如果图1经过一次旋转后得到图2,那么点A、B、C、D对应点分别是____.

设计说明 通过选择、填空的的形式考查了平移、轴对称、旋转的基本概念的知识点,学生课前利用神算子软件独立完成,非满分同学鼓励重做,神算子软件及时分析全班学生掌握情况、每题正确率以及学生错误名单和错误原因,便于课上有针对的讲解错误题目,本环节为学生打开回顾的一扇窗,开阔视野,丰厚沉淀.

【知 识回顾】

构建本节知识结构图:

设计说明 请学生表述线段AB如何变换到线段AB,通过学生的表述回顾平移、轴对称、旋转的要素以及变换前后图形之间的性质和对应点之间的性质.若一位学生表述不完整再请其他同学帮忙,充分留给学生表述的时间,只有表述清楚变换过程才能帮助学生充分回顾各变换的要素及性质,而且对应点之间的性质要一一板书在黑板上,便于后面完成典型例题.

【典 型例题】

例1如图,已知△ABC.

(1)以直线l为对称轴,画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(画图工具不限);

(2)将△A1B1C1向右平移,得到△A2B2C2,其中A2是A的对应点,请画出△A2B2C2(画图工具不限).

思考 画图时有什么注意事项?

请学生独立完成例1,利用希沃授课助手及时展示学生的典型错误、典型画法,同学之间相互点评,找出画图不足:○1审题不清,将△ABC向右平移,得到△A2B2C2;○2没有作图痕迹,画对称时没有垂直符号;○3没有下结论.分析画图依据:○1根据全等的性质尺规作图;○2根据对应点之间的关系画图,充分体现了知识回顾的重要性.

例1变式 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是.

图1

图2

请学生审题发现其实就是要探究例1中点B与点B2的关系,根据黑板上板书的平移及轴对称的对应点性质容易想到连接BB2,连接后引导学生大胆猜测BB2被对称轴平分,鼓励学生大胆发言,讲解不同方法:①利用角(对顶角)角(直角)边(轴对称性质对应点连线被对称轴平分及平行线之间的距离相等)证明全等得出结论;②利用平移性质对应点连线平行得出相似,再利用轴对称性质对应点连线被对称轴平分得出BB2被对称轴平分.

设计说明 例1的画图是对轴对称、平移性质应用的直接考查,学生可以利用两个性质采用两种方法画图,及时巩固刚刚回顾的知识点.另外例1是将一个图形先沿着一条直线进行轴对称,再沿着直线平移,将一个图形进行了两次变换我们称为复合变换,为下面引导学生探究变式作了很好的铺垫.

例1的变式是引导学生利用轴对称和平移性质探究复合变换后对应点之间的性质,将轴对称和平移两个变换有效整合,,不仅复习巩固了轴对称、平移的性质,还从已有知识中探究了复合变换的性质,使得学生的思维上升一定的高度.

例 2 如 图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90◦,点 D 在 BC 的 延长线上,且BD=AB.过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.

图

(1)求证:△ABC ～= △BDE;

(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法).

请学生独立完成,并请学生代表讲解第(2)题尺规作图的依据:对应点到旋转中心的距离相等,由此想到旋转中心在对应点连线的垂直平分线上,所以只要作AB、BD、CE中任意两条线段的垂直平分线即可.

式中：wij为以距离规则定义的空间权重；xj为j区域的变量值。对Gi(d)值进行标准化，若ZGi(d)为正，且统计显著，则属于高值聚集“热点”区，即农村居民点呈现局部的大规模斑块集聚；若ZGi(d)为负，且统计显著，则属于低值聚集“冷点”区，农村居民点斑块规模低值集聚。

思考 (1)你还有其他方法作出旋转中心O吗?

作为数学教师,我们讲解题目时应该多问问学生:你还有其他方法解决这道题吗?帮助学生多角度思考问题,学生思考无果,我提醒道:你看看这个图形跟我们学过的哪个几何图形很像?但又有些缺失呢?你能补全图形并根据它的性质找到旋转中心O吗?有学生讲正方形,请问他由什么条件想到正方形?学生答:∠ABC=90◦且BD=AB.老师给予鼓励,让学生画出正方形,再问:补全正方形后,旋转中心在哪呢?学生答:对角线的交点.此题完美解决,并为解决思考(2)做好铺垫.

(2)△ABC与△BDE的对应线段所在直线的夹角与旋转角有何关系?

学生很快找出对应线段AB与BD、AC与BE、BC与DE所在直线的夹角及旋转角∠AOB都为90◦.例2中对应线段所在直线的夹角与旋转角相等,那么在一般的旋转过程中,这个结论还成立吗?引导学生再一次深层次的思考.

例2变式 已知线段AB绕点O旋转后的对应线段是 A′B′,直线 AB、直线A′B′的夹角与 ∠AOA′有何关系?(0 ＜∠AOA′＜180)

学生延长线段AB、线段A′B′交与点M,发现∠AMB′与∠AOA′不相等,我说回头看看刚刚都是90◦的角之间除了相等还有什么关系?学生齐声道:互补.很好,请你们证明,我说.学生合作探究展示:连接OB、OB′,根据旋转的性质易证 ∠OAB ～= △OA′B′(SSS),得出 ∠BAO= ∠A′,又由∠BAO+∠MAO=180◦得∠A′+∠MAO=180◦,根据四边形AOA′M 内角和360◦得出 ∠AMB′+∠AOA′=180◦.我再提问:那这道题的答案是什么呢?学生答道:互补.我问:直线AB、直线A′B′的夹角有几个?有什么关系?学生答:四个,两两相等.我问:那请问这道题的答案是什么呢?学生恍然大悟,齐声答道:相等或互补.

设计说明 例2第(2)题的尺规作图是对旋转性质应用的直接考查,学生都利用“对应点到旋转中心的距离相等”作对应点连线的垂直平分线找到旋转中心,及时巩固一开始回顾的知识点.

例2的变式是从例2的特殊到一般,结论是否成立?先猜想再验证,利用已有旋转的性质探究了在旋转过程中对应线段所在直线的夹角与旋转角之间的关系,既巩固已有知识,又学到了新的内容.例2从2012年南京市一道中考题入手,到2016年南京市一道中考题的一个小片断结束,合理优化整合了两道很好的中考题,让学生根据导学案的引领,既巩固掌握了原有知识,又接触了新知识,同时也调动了学生的学习积极性.

【学 习反馈】

1.选择题

(1)下列四个图形中,不能通过基本图形平移得到的是(）

(2)将下面的左图按顺时针方向旋转90◦后的图形是(）

(3)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(）

A.等边三角形 B.正五边形

C.平行四边形 D.正十边形

(4)将四边形纸片ABCD按图①方式折叠,恰使BC与DC重合,展开后如图②所示,EC为折痕.再将该四边形按图③方式折叠,恰使AB与BC重叠,展开后如图④所示,BD为折痕,则下列判断正确的是(）

A.AB//CD B.AD//BC

C.DA=DC D.BC=AD

2.填空题

(1)如图,F、G分别是正五边形ABCDE的边BC、CD 上的点,CF=DG,连接 DF、EG.将 ∠DFC绕正五边形的中心按逆时针方向旋转到∠EGD,旋转角为α(0◦＜ α ＜ 180◦),则 ∠α =◦.

(2)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0◦＜ α ＜ 90◦).若∠1=110◦,则∠α=◦.

设计说明 本环节学生独立、快节奏的完成,以便巩固所学知识,加深对课堂所学重点难点的理解,由理论再回到实践,利用神算子小测本及时检测,并及时反馈学生前测与后测的平均分对比、个体学生变化、各题正确率及错误名单,这样可以及时反馈学生课堂问题,让中考复习课堂更高效.

二、案例反思

本节复习课导学案的优化设计在于:

(1)导学案引导学生课前自主复习,课堂自主学习,课后自主巩固,不论是学生的学习过程还是教师的教学过程都紧紧围绕导学案进行;(2)导学案通过知识结构图将相关知识结构化,让学生对知识的认识更全面、理解更加深入.能让学生整体感知各知识点是相互联系的,让学生在不知不觉中获得知识,提高数学能力;

(3)导学案的题目编制由易到难,课前热身以基础知识为主,典型例题的设置在课前热身的基础上有所提高和变化,重在体现对平移、轴对称、旋转的性质的理解应用和变式应用,有一定的思考性和探索性,这在学生的认知规律上体现出了一种阶梯性;

(4)导学案的问题设置层层递进,环环相扣,通过问题串巧妙地将两道中考题整合设计在一起,使得本节课即起到复习巩固的效果,又能从已有知识中学到新的内容,让学生有一种把复习课上成新授课的味道,从而提高复习课堂效率.

总之,在中考一轮复习教学中,导学案教学模式如何开展得更高效,还有很多方面值得研究和探讨,我将继续大胆实践,合理优化设计导学案,让中考复习走向高效.