关于对称导数的几个性质

摘要：对称导数性质是高中数学课堂中的重要组成部分之一，对于对称导数性质的研究具有十分重要的意义。本文对对称导数的基本概念进行了简单介绍，重点对对称导数的若干性质进行了系统分析，希望能为关注这一领域的人士提供一些参考意见，从而提高高中数学阶段教学有效性。

关键词：对称导数；偶函数；间断点；对称可导

一、 引言

对称导数也被称为许瓦兹导数，在数学领域中具有较早的发展历史。在上个世纪六十年代中后期，一阶对称导数概念就已经产生，并且对于函数中的确切性质来说，普通导数与对称导数具有较大的差异。因此，对于对称导数所具有的独特性质进行单独研究具有十分重要的意义。

二、 对称导数的基本概念

设函数f为定义在开区间M上的一段函数，且开区间M的闭区间为[a，b]，x属于闭区间[a，b]。若极限x趋近于0上的函数f（x+△x）-f（x-△x）2△x存在，则可将其称为在极限为f在点x上的对称导数，也可以称为函数f（x）在点x上对称可导，函数用fs（x）来表示。

虽然函数中的对称函数是一个相对较弱的函数概念，但在实际的学习过程中其具有较强的实际应用能力和广泛的应用范围，因此对于对称导数的研究具有十分重要的意义。并且基于对称导数的众多性质的基础上，还能进一步推导出其他相关引理，以提高对函数以及对称函数的掌握能力，增强学生数学学习兴趣，提高函数的学习能力。

三、 对称导数的基本性质

（一） 若对称导数f（x）在x0处可导，在其对称点也可导

证明过程：若f（x）在点x0处为可导函数，那么可以得到lim△x→0f（x0+△x）-f（x0）△x=f′（x0）f（x0+△x）-f（x0-△x）2△x=12f（x0+△x）-f（x）△x+f（x0）-f（x0-△x）△x。

对等式两边同时取极限值，可以得到最后结果为 f′（x0），并且有fs（x）=f′（x0），可以反过来，但结论不成立。

（二） 若函数f（x）对称可导，函数f（x）可以不连续

若函数f（x）可导，则在闭区间[a，b]上必定为连续函数，但相同情况下函数f（x）在某一区间上为对称可导函数，则f（x）可以不连续。

（三） 函数f（x）连续，其对称导数可能不存在

例如，当x≠0时，函数f（x）=|x|sin1x，当x=0时，函数f（x）=0，并且当x=0时，函数连续，经过推导可以得出，当x趋近于零时，sin1△x不存在极限值，因此对称导数不存在。

（四） 函数f（x）对称可导，但f（x）不可积

根据前文所证明的对称导数中连续性与可导性不存在必然联系，但与此同时对称导数的导性与可积性具有一定的关系，即若函数f（x）对称可导，可其一定不可积。

（五） 若函数f（x）在O点的邻域是偶函数，则f（x）在O点对称可导

证明过程：若函数f（x）在O点的邻域U（0）上为偶函数，并且有f（h）=f（-h），那么经过推导可以得出，当h无限趋近于0时，可以得出最后函数结果为0，因此该函数 f（x）在O点处对称可导，且可导函数fs（0）=0。

（六） 若f（x+0）和f（x-0）均存在，x0是其间断点，则为可去间断点

证明过程：已知函数f（x）在x0处为对称可导函数，并且对称可导函数f（x0）=f（x+△x）-f（x-△x）2△x，根據极限的性质可以得到，当x无线趋近于0时，f（x+0）-f（x-0）=0。

所以函数f（x）在该区间上的左右极限值相同，因此x0为函数f（x）上的可去间断点。由此可以推导出若函数 f（x）在开区间（a，b）上单调，并且函数f（x）在这一开区间上为对称可导函数，那么函数f（x）在（a，b）上有一个可去间断点。

证明过程：若函数f（x）在开区间（a，b）上为单调函数，那么x0∈（a，b），且此时f（x+0）与f（x-0）均存在，根据前文所验证的第四条性质可以得出，假设x0为函数 f（x）的间断点，那么其一定为函数f（x）的可去间断点。

（七） 若函数f（x）在邻域上有定义，且f（x）在x趋近于0时的高阶无穷小，f（x）在零点对称可导

证明过程：设x=a，则有f（a）=0（a）（a→0），同时也能得到f（-a）=0（a）（a→0），同理可得当a无限趋近于0时，函数f（x）在0点处为对称可导函数，并且对称可导函数 fs（0）=0。

四、 总结

综上所述，本文对于对称导数所存在的几类特殊性质进行了全面系统的分析，在高中阶段数学函数课堂的教学中，研究对称导数的性质对于增强导数概念的学习和理解能力具有十分重要的意义。并且，经过实践的检验和系统论证，本文所研究的对称函数基本性质其结果真实可靠，为未来在数学领域的学习和深入探索奠定了坚实的基础。

参考文献：

[1]高静华，梁波.对称导数在研究函数上的应用[J].长春大学学报，2012，22（12）：1488-1489，1494.

[2]裴金玲.用导数方法解决函数的对称性问题[J].中学数学研究，2017，（06）：37-38.

作者简介：

童歆，河南省平顶山市，平顶山市第一中学。endprint