体验数学边程 感悟模型思想

郭惠煌

摘要：数学素养包括数学方法和数学思想，模型思想是数学思想中尤为重要的一部分，构建模型被越来越多地运用于课堂教学中。教师在教学时首先通过事例让学生来感知模型，其次建立数学活动来验证模型，使学生达到思维的全面通透，从而呈现出模型的本质，再经过不断的反思和顿悟完善模型，最后经过去伪求真的运用过程，使模型扎根到学生心里。在教学中数学建模的思想使学生提高了解决问题的能力，促进自我的数学建构，最终提升数学素养。

关键词：小学数学;鸽巢原理;模型思想;过程;数学素养

中图分类号：G623.5

文献标识码：A

文章编号：1009-010X（ 2018）01-0031-03

史宁中教授说：“小学那点知识不到半年就学会了，为什么要用6年的时间来学习呢？就是要培养能力。”新课标由双基到四基，双能到四能，其主要目的在于实现学生数学素养的全面提升。数学素养包括数学方法和数学思想，“模型思想”是唯一一个以“思想”指称的概念。新课标在阐述模型思想时谈到：“数学有两件事情很重要，一件事情就是解决问题，所以要形成模型;另外一件事，要从实际情境中找到解决问题的模型”。小学阶段数学建模的定位应当是引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力，建立思维方法，反过来解决实际问题，提高解决问题的能力。即模型建构的一般过程为“生活情境——抽象模型——验证模型——生活问题”。

一、真实经验，感知模型

新课标提出：重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。小学教学主体是儿童，模型建构要从儿童视角出发，将生活中发生的与数学有关的素材引入课堂，并努力将教材上的内容转化为儿童生活数学问题去思考，且要尽量贴近儿童的“最近发展区”，使学生产生学习的内驱力，积极调动自身经验，感知数学模型的存在。比如：面对“鸽巢问题”这一抽象原理，充分挖掘学生的认知起点，创设游戏情境，让学生感悟到生活中闪烁着鸽巢问题，激发学生探索的欲望。

游戏“你躲我猜”——“四位同学任意站在这3个圈子里，每个人都必须站进去”老师来猜学生站的情形。教师猜法1：“不管你们怎么站，总有一个圈子里至少站着1个人”。学生调整站形，发现根本战胜不了老师。学生在调整中顿悟：只要有人存在，圈子肯定有人，根本就不用猜，也就是这个猜法没有实际意义。突破第一个难点，下面的教学中学生就不会出现“不管怎么飞，总有一个鸽舍里至少飞进1只鸽子”这种理论的干扰。教师猜法2：“不管你们怎么站，总有一个圈子里至少站着2个人”。学生不断地调整站形，发现根本就战胜不了老师。教师的猜法层层递进，激发学生在调整过程中不断地思考，碰撞出火花，模型若隐若现：“4个人站进3個圈子里，不管怎么站总有一个圈子至少站了2个人”。这个游戏在激活学生生活经验，吸引学生注意力的同时，让学生从已有的生活经验初步感知抽象的“鸽巢原理”，感受趣味背后的意义，而且其中还孕伏了“鸽巢原理”的核心词“总有”“至少”，有效地分散了教学难点，为模型的建构提供助力，润物细无声，提升了学生的数学素养。

二、实践活动，验证模型

苏霍姆林斯基指出：“儿童的智慧在他的手指尖上。”儿童的思维是离不开实践活动的。模型建构需要大量的数学活动经验来支撑，动手操作是一种带着强烈数学意识的活动，实践活动能降低模型的抽象程度，数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，从而帮助学生思维通透，验证模型的存在。丰富数学活动经验的积累也是提高学生数学素养的重要手段。

当“鸽巢原理”这一模型若隐若现时，立刻让学生动手操作，用学具摆出所有站法，验证每一种情况：4种站法（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。学生在做的过程中思考：（1）通过实际操作，你觉得这句话对吗？（2）第一种摆法满足这句话吗？但是这里存在0，符合题目要求吗？（3）我们说只要一个圈子满足2个或2个以上就可以，3个圈子都需要看吗？看哪个？

通过这一过程学生发现并不需要每个圈子都去检查是否有2人或2人以上，只要看最多的圈子是否满足条件即可。突破“只需考虑鸽子数最多的一个鸽舍里”这一难点。让看得见的东西来帮忙，沟通多种解决问题策略间的内在联系，学生通过经历实践操作这一直观过程确定模型的存在。

三、本质挖掘，呈现模型

数学最本质的追求——发展思维。模型建构由直观走向推理，才能达到思维的全面通透，从而呈现出模型的本质。知其然并知其所以然，学生才能领悟到模型思想的真谛，也会让已有的模型由深入走向深刻，带给学生更深层次的体会，从而轻松呈现出模型。

通过直观操作确定“鸽巢原理”模型存在后，引导学生得出这个结论。不管学生思维转到假设法还是反证法，都能顺利沟通“平均分”，关键是要理解为什么要平均分。学生已经经历了直观操作，将假设法（反证法）所得到的结果（2，1，1），与实际操作联系。三次追问：（l）为什么假设法就只考虑（2，l，1）这种情况？（2）哪一种站法里圈子人最多？（4，0，0）。哪一种站法圈子里人最少？（2，l，1）。（3）如果最少的都满足了还要看最多吗？

攻克第二个难点首先考虑“最少飞进几只鸽子”。紧接着追问“为什么要平均分”，再次追问“怎样站才能让其中一个圈子站最多人？怎样站才能最少？”学生脑洞大开：“所有人都在一个圈子就最多，让每个圈子都有人就最少。”

“让每个圈子都有人”就要尽量平均分才能保障这个结果。在经历了这一系列的过程后，学生已经认识到了这一原理的本质，从而自主建构模型：4÷3：1……1，1+1=2。第一个1是平均分得到的1人，第二个1是剩余的1人再次站进去，二者合起来，圈子就有2个人。学生对于“鸽巢原理”“尽量平均分”这一精髓能够理解得更深刻。

四、异中求同，完善模型

对比同类问题情境，抓住它们相同的点，能让学生在有趣的类推活动中，对模型体验并理解，逐步得出一般性的结论，同时模型建构需要在不断的反思和顿悟过程中才能得到完善，致使模型更牢固，并学会用一般性的数学方法来思考问题，提升学生的数学素养。

（1）5个人站进4个圈子中，不管怎么站，总有一个圈子里至少站了几个人，为什么？（2）10个人站进9个圈子里呢？（3）100个人放进站进99个圈子里呢？经历这3个问题情境，学生不断地探究和思考，初步模型得到稳固：“人比圈子的数量多1，不管怎么站，总有一个圈子里至少站进2人。”

如果人的数量比圈子多2或多3规律还存在吗？（1）7只鸽子飞回5个鸽舍，不管怎么飞，总有一个鸽舍至少有幾只鸽子？为什么？（2）11只鸽子飞回4个鸽舍呢？（3）12只鸽子飞回4个鸽舍呢？在不断对比、思考、理解与反思的过程中，找到相同点，即“尽量平均分”，模型得到完善：“人”的数量多于“圈子”数量且又不是倍数关系时，不管怎么站，总有一个圈子至少站了（商+l）个人。”这里的1与余数无关。解决这类问题，就可以直接用“商+1”来解决。

五、去伪求真，模型扎根

新课标指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，指导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值”。生活问题的一半是数学问题，另一半是生活实际，数学问题是解决生活问题的核心。应用模型解决问题，首先要去掉问题中与数学无关的内容，使数学信息和生活信息分离开，再从数学问题中找到与模型相同的影子，即去伪求真。经历运用过程，模型才得以扎根到学生心里。

“鸽巢原理”模型在运用时，教师应予以提示：应用原理的关键点（找到鸽子和鸽舍的影子，至少数=商+1）。（1）随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？（2）小张参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。小张至少有一镖不低于9环。为什么？这两道题都与需要找准鸽子和鸽舍原理一样，灵活应用知识解决问题。“鸽巢原理”的题型变式很多，应该让学生灵活运用模型解决生活问题，才能进一步感受数学的魅力，从而提高学生解决问题的能力，提升学生的数学素养。

数学建模是学习数学的必经之路，数学建模是提升学生思维的重要方法，数学教师应注重过程，让学生感悟模型建构，形成模型意识，建立思维方法，反过来解决实际问题，提高解决问题的能力，促进自我的数学建构，最终提升数学素养。