探究反证法在数学证明中的应用

刘天怡

摘 要：反证法指的是从结论入手进行反向思考，也就是我们所说的“反推”，它能够有效简化问题，创新命题解决方式。在数学证明当中，反证法拥有广泛的应用范围，属于非常重要的数学工具。反证法作为一种间接证法，适用逆向思维寻找问题的矛盾，从而确定出命题的真实性。

关键词：反证法；数学证明；逆向思维

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）06-0082-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.049

反证法是人类文明史上一个伟大的发现，在数学的发展中起到了非常重要的作用。在很多年之前，古希腊数学家欧道克斯曾经利用反证法发现了无理数，洛巴切夫斯基利用反证法发现了非欧几何学。反证法除了在数学的发展中起到了非常大的作用之外，在数学的学习、钻研过程中，反证法也帮助我们解决了很多生活中的难题。

一、 反证法的基本思想和应用范围

（一）反证法的基本思想

在数学证明中，反证法属于一种间接证明的方式，主要核心方式就是否定原命题的同时，把结论当成一种题设，然后验证是否跟之前的论证相矛盾，这是一个先否定，再证明，找到矛盾，最后进行肯定的证明过程。反证法的证明方式在很大程度上能够帮助我们解决很多直接思维方式解决不了的问题，不过反证法很难被初学者理解。在数学证明当中，反证法是通过否定证明论题的方式進行的，在解题过程中一般分为三个步骤：第一步，首先是假设原定的命题不成立；第二步，把命题的结论当成题设进行证明；第三步，证明出结论之后对比命题的结论是否正确。如果命题的结论并不能够直接进行证明，那么利用反证法是非常明智的选择。

（二）反证法的应用范围

反证法平时虽然都是在平面几何当中出现，但是在数学的其他领域也有很广泛的应用，比如在代数、立体几何等方面。在否定性命题当中，如果结论当中有“没有、不是、不能”等命题，一般使用直接证明的方式比较困难，就可以使用反证法，限定式命题则是在结论当中包含有“至多、至少、最多”等词语。无穷性命题，这个题设中包含有各种无限的命题，这种题目利用正常证明思维来证明非常困难，本身题目的题设比较宽泛，因此需要使用反证法。还有某些存在性命题，例如：题目中让你证明任何一个实数，存在一个等式恒成立，利用反证法是最好的选择。全程肯定性命题中会出现“总是、都、全”这样的词语，都可以用反证法进行解答。不等量命题应用反证法，是最快捷的证明方式。

二、 反证法在数学证明中的应用

（一）起始命题、基本命题、特殊命题

在起始命题、基本命题、特殊命题当中不容易直接找到可以用到的定理和公式，使用反证法能够取得良好的证明效果。例如：在同一平面当中存在四条直线a、b、c、d，a、b两条线相交，c⊥d，d⊥b，那么求证c与d两条线相交。在证明过程中，首先我们可以假设cd平行，由于a⊥c，所以a⊥d，又因为d⊥b，所以说a、b平行。这样通过a、b相交矛盾，因此a与c相交。

（二）唯一性命题

（三）否定形式命题

在很多命题结论当中包含有“不、无”等字词时，可以选择使用反证法进行证明。例如：求证当n是自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示两个整数的平方差。在证明过程中，首先我们可以假设有两个整数a、b，根据题目可知a2-b2=2（2n+1），所以得出（a+b）（a-b）=2（2n+1）。当a、b两个数同奇同偶时，a+b、a-b都是偶数，a+b、a-b应该属于4的倍数，但是2（2n+1）除以4余2，因此结论矛盾。当a、b是一个奇数一个偶数时，a+b、a-b都是奇数，2（2n+1）是偶数，二者不相等，所以结论同样矛盾。那么假设错误，2（2n+1）形式的数不能表示两个整数的平方差。

（四）限定式命题

在限定式命题当中，包含有很多“至多、至少”等字样，可以在证明中使用反证法。例如：求证一个多边形有三个都是锐角。证明假设一个n边形有4个角都是锐角，那么这四个内角的外角之和加起来已经大于360°，这个n边形的外角和必然大于360°，这跟定理n边形外角和等于360°是矛盾的，因此可以证明，一个多边形当中，最多只能存在三个内角是锐角。

（五）反证法应用注意事项

在反证法应用过程当中，首要问题就是应用反证法正确的否定命题结论，只有否定了命题结论，才能够为证明的下一步论证打好基础。在证明过程中，一定要明确推理的特点，在使用反证法进行题设推理之前，不能事先就否定题目结论或者是肯定题目结论。不管是题目的任何论证，都需要首先脱离人的主观臆想，这时候才能够进行证明，不然即使后期使用反证法，也只能够得出错误的答案，跟真正的命题真相背道而驰。

三、结语

综上所述，反证法在数学命题证明过程中，是非常重要的证明方法。如果应用恰当，能够有效节省解题时间，提升解题效率，有效提升数学解题能力。数学解题思维的培养是一种逻辑思维的培养，将来在工作生活中处理相关问题的时候，也可以灵活采用类似的证明方式，以提高工作中办事能力和办事效果。

参考文献：

[1] 朱慧.反证法在中学数学证明题中的应用[J].教育教学论坛，2010（35）.

[2] 段仰月.例谈反证法在数学证明题中的应用[J].同学少年，2006（z2）.

[3] 徐秀娟.反证法在高等数学证明题中的应用[J].河北理工学院学报（社会科学版），2005（4）.endprint