哈尔滨师范大学研究生 马正方
已知:x2+y2=z2(勾股定理,当然z>y>x)。
对“x2+y2=z2”进行“等差数列化解”:
[(y+x)2+(y-x)2]÷2=z2。
证明该等式:
[(y+x)2+(y-x)2]÷2=z2。
去小括号,得[y2+2xy+x2+y2-2xy+x2]÷2=z2;
整理中括号内容,得[2x2+ 2y2]÷2=z2;[2x2+2y2]可写成2(x2+y2),因此2(x2+y2)÷2=z2可写成x2+y2=z2。
洞察[(y+x)2+(y-x)2]÷2=z2,根据等差数列中项公式可判断(y-x)2、z2、(y+x)2构成等差数列,其公差为2xy:
z2-(y-x)2=(y+x)2-z2。
去括号,得z2-y2+2xy-x2=y2+2xy+x2-z2;
已知z2=x2+y2,该等式可写成x2+y2-y2+2xy-x2=y2+2xy+x2-x2-y2,整理之后,得2xy=2xy。
当n>2时,xn+yn=zn不能如同x2+y2=z2那样进行“等差数列化解”,当然也就不存在公差2xy,从而当n>2时,xn+yn=zn与x2+y2=z2可谓天壤之别,不可同日而语,因此,理所当然没有正整数解。当n>2时,xn+yn=zn和x2+y2=z2的本质区别和主要矛盾就在于能否“等差数列化解”。正如哲人所说:研究任何过程,如果存在两个以上复杂情况,就要用全力抓住主要矛盾,抓住了这个主要矛盾,一切问题就迎刃而解了。
该文的“旁证”含义:利用x2+y2=z2等号旁边“x2+y2”进行“化解”来求证费尔马大定理。
通过“化解”来提高x2+y2=z2的“透明度”,从而增强该等式与xn+yn=zn(n>2)的可比性和矛盾性来证明费尔马大定理。
“x2+y2=z2”的优点在于能够等差数列化解,因而有正整数解;“xn+yn=zn”(n>2)的缺点在于不能等差数列化解,因而没有正整数解。如此这般,优点和缺点的主要矛盾“相反相成”于“xn+yn=zn”(n为任何正整数)这个统一体之中,充分体现了对立统一这个宇宙的根本规律。然而,公差“2xy”是所有正整数解的核心,所有正整数解必然和2xy这个核心保持高度一致。2xy是费尔马大定理的要害,犹如咽喉啊!
费氏身后谜团搁,众人争相把题解。蹉跎岁月远离他,进取春秋近靠我。夜合三更闻鸡舞,昼分五时见纸写。不成功来便成仁,人生能有几回搏?