有限群的PF-可补充子群

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(浙江理工大学理学院，杭州 310018)

0 引 言

本文所有的群都是有限群。群论研究者利用子群的各种性质(置换性质、可补充性质、嵌入性质等)，已经得到了有限群结构的一系列结果。Buckley[1]证明：如果奇数阶群G的每一个极小子群在G中正规，则G为超可解群。Ballester-Bolinches等[2]证明：如果群G的每一个极小子群在G中可补或者G的每一个素数阶(或者4阶子群)在G中c-可补，则G为超可解群。有限群G的一个子群H称为在G中拟正规的[3]或者置换的[4]，如果对G的所有子群E都有HE=EH。Ore[3]证明：有限群的任一拟正规子群为次正规子群。若A是G的子群，且K≤H≤G，如果AH=AK，则称A覆盖(K,H)；如果A∩H=A∩K，则称A避开(K,H)。由此Guo等[5]引入子群嵌入的概念：有限群G的子群A称为在G中是几乎m-嵌入的，如果存在G的子群T和C≤A使得G=AT且T∩A=T∩C，其中C在G中是N-拟置换的。Guo等[5]利用该概念证明：如果G的每一个极小子群在G中是几乎m-嵌入的，则G为2’-超可解群。

本文考虑F-拟置换子群的一些应用，由F-拟置换子群获得PF-可补充子群的定义，并进一步研究PF-可补充子群与有限群幂零性、超可解性的关系，得到有限群2-幂零性等一些充分条件。运用本文定理的结论，可以推广和统一Buckley[1]和Ballester-Bolinches等[2]提出的有限群结构和性质的部分结论。

1 预备知识

本文中G表示一个有限群，p表示一个素数，Gp表示群G的西洛p-子群，F表示一个群类。如果1∈F，则用GF表示G的所有使G/N∈F的正规子群N的交；群类F称为群系，如果1∈F，并且对所有的群G，G/GF的同态像总是属于F或者F=∅。群系F称为饱和的，如果当G/Φ(G)∈F时总有G∈F；群系F称为继承的，如果对于G的每一个子群H，当G∈F时总有H∈F。本文用N表示幂零群系，用U表示超可解群系。群G的极大子群M称为F-伪正规的，如果G/MG∉F。设K

本文所用符号和概念皆为标准的，未说明的概念与符号参见文献[6]。

定义1设A是G的子群，如果A覆盖或者避开G的每一个F-伪正规对(K,H)，则称A在G中是F-拟置换的。

例1设A是G的拟正规子群，(K,H)是G的一个极大对，则AK=KA是G的一个子群，H∩KA=K(H∩A)=(H∩A)K是H的一个子群。因为K是H的极大子群，所以H∩A≤K或者H=(H∩A)K，因此G的每一个拟正规子群覆盖或者避开G的每一个极大子群对。

例2群G的子群A称为在G中{1≤G}-嵌入的[5]，如果A覆盖或者避开G的每一个极大子群对。因为幂零群的极大子群都是正规的，所以G的所有{1≤G}-嵌入子群的集合就是G的所有N-拟置换子群的集合。

如果群类F⊆M，则每一个F-拟置换子群也是M-拟置换子群，因此N-拟置换子群是包含所有幂零群的群类F的F-拟置换子群。

定义2设H是G的一个子群，如果H=G或者存在一个子群链:

H=H0

对于i=1,…,t，要么Hi-1在Hi中正规，要么Hi/(Hi-1)Hi∈F，则H在G中是K-F-次正规的[6]或者是F-次正规的[7]。

定义3设A是G的子群，称A在G中是PF-可补充的，如果存在G的子群T和C≤A，使得G=AT且T∩A=T∩C，其中C在G中是F-拟置换的。

显然，每一个F-拟置换子群是PF-可补充的。

定义4如果G不属于F，但是它的所有真子群属于F，则称G为F-临界的。一个N-临界群被称为斯米特群。

引理1[5]设M≤G，N是G的正规子群，(K,H)是G的一个极大对，其中M覆盖或者避开(K,H)。则下列结论成立：

a) 如果N避开(K,H),则(KN,HN)是G的一个极大对,且|HN∶KN|=|H∶K|；

b) 如果M覆盖(避开)(KN,HN)，则MN覆盖(避开)(K,H)；

c) 如果H≤V，且M覆盖(避开)(K,H)，则M∩V覆盖(避开)(K,H)；

d) 如果M覆盖(避开)(K,H)，且N≤K，则MN覆盖(避开)(K,H)；

e) 如果A≤B≤C≤D，且M覆盖(避开)(A,D),则M覆盖(避开)(B,C)。

引理2设M，V是G的子群，N是G的正规子群，如果M在G中是PF-可补充的。则下述断言成立：

a)M∩V在V中是F-拟置换的；

b)NM/N在G/N中是F-拟置换的。

证明：a) 由假设知，M覆盖或者避开(K,H)，令(K,H)是V的F-伪正规对，则M∩V覆盖(避开)(K,H)，因此(M∩V)在V中是F-拟置换的。

b) 令(K/N,H/N)是G/N的F-伪正规对，则由(K/N)H/N=KH/N和(H/N)/(K/N)H/N=(H/N)/(KH/N)≃H/KH知，(K,H)是G的一个F-伪正规对。由假设知，M覆盖或者避开(K,H)，如果M覆盖(K,H)，则NMH=NMK，于是NM/N覆盖(K/N,H/N)；如果M避开(K,H)，则(MN/N)∩(H/N)=(MN∩H)/N=N(M∩H)/N≤NK/N=K/N，于是NM/N避开(K/N,H/N)，因此NM/N在G/N中是F-拟置换的。

引理3[5]设F是一个群系，H和E是G的子群，其中H在G中是K-F-次正规的。则：

a) 如果F是继承的，则H∩E在E中是K-F-次正规的；

b) 如果E是G的正规子群，则HE/E在G/E中是K-F-次正规的。

引理4设N=N1×…×Nt是G的正规子群，其中Ni是非交换单群，i=1,…,t。如果F是一个包含所有可解群的继承群系且C是G的K-F-次正规子群，若CG(N)=1，则C在CN中是次正规的。

证明：假设引理不真，并设G为极小阶反例，则C≠1。因为C是G的K-F-次正规子群，所以存在G的子群M≠1，使得C≤M，且要么M在G中正规，要么G/MG∈F。由引理3，C在M中是K-F-次正规的。由G的选择知，当N≤M时，C在CN中次正规，因此NM。由于N的每一个合成因子都是非交换的，所以G/MG是非可解群，因此M在G中正规。

由假设知，CG(N)=1，D=M∩N≠1。令C0=CG(D)，则N=D×(C0∩N)，其中C0∩N在G中正规，因此C0∩N∩M=C0∩D=1且C0∩N≤CG(M)。这表明CD在CN中正规，且M≤CG(C0∩N)，于是CM(D)≤CG(D)∩CG(C0∩N)=CG(N)=1。因为假设的条件对(M,D,C)成立，所以由G的选择知，C在CN中次正规，矛盾。

引理5设K，H是G的子群，假设K在G中是PF-可补充的，而H正规于G。则下列结论成立：

a) 若K≤E≤G，则K在E中是PF-可补充的；

b) 若H≤K，则K/H在G/H中是PF-可补充的；

c) 若(|H|),|K|)=1，则HK/H在G/H中是PF-可补充的。

证明：令T和C≤K是G的子群，满足KT=G，T∩K=T∩C，且C在G中是F-拟置换的。

a) 显然E=E∩KT=K(E∩T),由引理2a)知，C在E中是F-拟置换的。因为(E∩T)∩K=T∩K≤C，所以K在E中是PF-可补充的。

b) 显然(HT/H)(K/H)=G/H，由引理2b)知，(HT/H)∩(K/H)=(HT∩K)/H=H(T∩K)/H≤HC/H≤K/H，其中HC/H在G/H中是F-拟置换的，所以K/H在G/H中是PF-可补充的。

c) 因为KT=G，且(|H|,|K|)=1，H≤T，所以T∩HK=H(T∩K)≤HC≤HK，于是由引理2b)知，HK/H在G/H中是PF-可补充的。

引理6[8]设E是G的一个非单位的正规拟幂零子群，若Φ(G)∩E=1，则E是G的一些极小正规子群的直积。

引理7设P是G的一个非单位的正规p-子群,且P∩Φ(G)=1，如果P的每一个极大子群或者极小子群在G中是PU-可补充的，则P的某个极大子群在G中是正规的。

证明：假设引理不真，并设G为极小阶反例。因为P∩Φ(G)=1，由引理6，P=N1×…×Nt，其中Ni是G的极小正规子群，i=1,…,t。

引理8[9]设F是一个饱和群系，G是一个有限群，假设G的F-上根GF是可解的，且G的每一个不包含GF的极大子群都属于F。则下列结论成立：

a) 对某个素数p,P=GF是一个p-群且P的指数为p或者4(P为非交换2-群)；

b)P/Φ(P)是G的F-离中心的主因子；

c) 若P是交换的，则Φ(P)=1。

引理9设F是一个包含所有幂零群的饱和群系，G是一个F-临界群[10]且F-剩余群P=GF≤OP(G)。如果P的每一个素数阶或者4阶(p=2且P非交换)循环子群在G中是PU-可补充的，则|P|=p且(|G|,p-1)≠1。

证明：由引理8知，P/Φ(P)是G的F-离中心的主因子；对某个素数p,P是指数为p或者4(p=2且P非交换)的群。

首先证明|P|=p。假设结论不成立，由引理7,存在P/Φ(P)的极小子群X/Φ(P)，满足X/Φ(P)在G/Φ(P)中不是PU-可补充的。令x∈;FounderNodenameΦ(P)，L=,则|L|=p或者L=|4|。由假设，L在G中是PF-可补充的。令T和C≤L是G的子群，满足LT=G，L∩T=C∩T，其中C在G中是U-拟置换的。若T=G，则L=C在G中是U-拟置换的。由引理2，X/Φ(P)=LΦ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是U-拟置换的，因此X/Φ(P)在G/Φ(P)中是PF-可补充的，矛盾表明T≠G，因此|G：Φ(P)T|=p且PΦ(P)T=PT=G，于是|G：Φ(P)T|=|P|=p。

命题1G的每一个F-拟置换子群是K-F-次正规的。

证明：假设命题1不成立，并设G为极小阶反例。令E是G的F-拟置换子群，则对G的某个极大子群M，有E≤M。由引理2a)，E在M中是F-拟置换的，又由G的选择知，E在M中是K-F-次正规的。若G/MG∈F，则E在G中是K-F-次正规的，这与G的选择矛盾，因此对任意的x∈G，都有G/MG∉F，于是E覆盖或者避开极大对(Mx,G)。假设对某个x∈G，有EMx=G，则MMx=G且G=MM=M，矛盾。这表明对任一x∈G，都有EMx≠G且E≤Mx，因此E≤MG。显然，E在MG中是F-拟置换的，由G的选择知，E在MG中是K-F-次正规的，因此E在G中也是K-F-次正规的，矛盾。

2 主要定理

定理1设p是一个整除|G|的奇数，如果Gp的每一个极小子群在G中是PU-可补充的，则G是2’-超可解的。

证明：假设定理1不成立，并设G为极小阶反例。令F为包含所有2’-超可解群的群类，显然F中的每一个群都是可解的。由引理5知，假设的条件对G的每一个子群成立，因此G的每一个真子群是2’-超可解的。

首先证明G是可解的。假设G是不可解的，则有：

a)G的每一个正规真子群N都包含于Φ(G)中，于是G′=G，F(G)=Φ(G)，且G/F(G)是非交换单群。

显然N是可解群。假设NΦ(G)，令M为G的极大子群使得NM，易知M是可解的，于是G/N≃M/M∩N是可解的，因此G是可解的且N≤Φ(G)，所以F(G)=Φ(G)且G/F(G)是非交换单群。

b) 如果L是G的K-U-次正规真子群，则L≤F(G)。

由定义2知，存在G的真子群M使得L≤M，且要么M在G中正规，要么G/MG是超可解群。由a)知，M≤Φ(G)=F(G)，于是L≤F(G)。假设M不正规于G，则M≠MG且G/MG是超可解的。但是MG≤F(G)，因此G/F(G)是交换的，矛盾。

设p是整除|G/F(G)|的最大素数，Gp是G的西洛p-子群。令π=π(G/F(G))，由Burnside’spaqb-定理知，|π|>2且存在一个素数q∈π{2,p}。设Gq是G的西洛q-子群，Q=Gq∩F(G)是F(G)的西洛q-子群，则有：

c)Q≠1.

假设Q=1，令L为Gq的极小子群。由a)知，L在G中是PF-可补充的。首先假设L在G中是U-拟置换的，由命题1知，L在G中是K-U-次正规的，因此L≤F(G)，所以L≤Gq∩F(G)=Q，这表明L在G中不是U-拟置换的，故对G的某个极大子群M，有G=LM。考虑G/MG在M/MG的右陪集上的置换表示可知，G/MG同构于对称群Sq的某个阶为q的子群，因此q为整除|G/MG|的最大素数。又因为MG≤F(G)，p整除|G/MG|，所以p

d)E=QGp是幂零群。

e)Q≤Z∞(G).

令C=CG(Q)，因为Q是F(G)的特征子群，所以Q和C都在G中正规。设H/K为G的包含于Q的主因子，由d)知，Gp≤C≤CG(H/K)，又由文献[10]第A章10.6(b)知，F(G)≤CG(H/K)。因为p整除|G/F(G)|，所以F(G)

最后证明G是2’-超可解群。

显然G为可解的F-临界群。假设G不是2’-超可解群，则由引理8，对某个素数r>2，GF是一个r-群。又由引理9知，|GF|=r，所以G是2’-超可解群。

定理2如果G2的每一个极小子群在G中是PU-可补充的，且G′∩G2是交换的或者G2的每一个4阶循环子群在G中是PU-可补充的，则G是2-幂零群。

证明：假设定理2不成立，并设G为极小阶反例。由引理5a)，假设的条件对G的每一个子群成立，因此G的每一个真子群是2-幂零群。又由文献[11]第Ⅳ章5.3知，G是一个2-闭的斯米特群，于是由斯米特定理[9]，G2=GN=G′是G的西洛2-子群，因此G2的每一个阶为素数或者阶为4(G′∩G2=G2是非交换的)的循环子群在G中是PU-可补充的。由引理9，|G2|=2，因此G为幂零群，矛盾。

定理3设X≤E是G的正规子群，p是整除|X|的素数且(|X|，p-1)=1，令P为X的西洛p-子群。如果P的每一个极大子群在G中是PU-可补充的，则X是p-幂零的，且X/Op′(X)≤ZΦU(G/Op′(X))。

证明：假设定理3不成立，令(G,X)是满足|G|+|X|最小的极小阶反例。则有：

a)Op′(X)=1.

假设Op′(X)≠1，因为Op′(X)为X的特征子群，所以Op′(X)正规于G。令N为包含于Op′(X)的G的极小正规子群，则由引理5c)知，假设的条件对(G/N,X/N)成立。因为X/Op′(X)≃(X/N)/(Op′(X)/N)=(X/N)/Op′(X/N)是p-幂零的，且(X/N)/Op′(X/N)≤ZΦU((G/N)/Op′(X/N))，所以X是p-幂零的，且X/Op′(X)≤ZΦU(G/Op′(X))，矛盾。

b)X≠P.

假设X=P，令N为包含于X的G的极小正规子群，则由引理5b)知，假设的条件对(G/N,X/N)成立。于是由(G,X)的选择知，X/N≤ZΦU(G/N)，所以NΦ(G)且|N|>p，因此Φ(G)∩X=1。由引理6知，对G的某些非循环的极小正规子群N1,…,Nt，有X=N1×…×Nt，但是X的某个极大子群在N中正规，因此由文献[10]A章3.2知，对某个整数i,有|Ni|=p，矛盾表明b)成立。

c) 由a)和b)直接可知，X不是p-幂零群。

d)Op(X)=1.

假设Op(X)≠1，令N为G的包含于Op(X)的极小正规子群，则N≤P。

Ⅰ)X/N是p-幂零的，因此X为p-可解群，NΦ(G)且对X的某个包含于N的主因子H/K，有|H/K|>p。

若N=P，则X/N为p′-群，所以X/N为p-幂零群。若N≠P，则假设的条件对(G/N,X/N)成立，由(G,X)的选择知，X/N为p-幂零群。假设N≤Φ(G)，由文献[8]推论1.6知，X为p-幂零群，这与c)矛盾，因此N≤Φ(G)不成立。如果对X的每一个包含于N的主因子H/K，有|H/K|=p，则由(|X|,p-1)=1知，CX(H/K)=X，所以N≤Z∞(X)，这说明X是一个p-幂零群，矛盾。

Ⅱ)N=N1×…×Nt，这里N1,…,Nt是X的极小正规子群，且对所有的i,j，|Ni|=|Nj|>p(文献[10]A章命题4.13)。

由Ⅰ)和a)知，对G的包含于X的极小正规子群R，有R≤Op(X)且X/R是p-幂零群。因为所有p-幂零群组成的群类是饱和的群系[8]，所以N为G的包含于X的唯一的极小正规子群，且由I)知，NΦ(G)，于是存在G的极大子群M使得G=NM，MG∩X=1。从而：

CX(N)=X∩CG(N)=X∩N(CG(N)∩M)

=N(X∩CG(N)∩M),

这里X∩CG(N)∩M正规于M，且N≤CG(X∩CG(N)∩M)。因此X∩CG(N)∩M正规于G，这说明X∩CG(N)∩M≤X∩MG=1，于是由文献[10]A章10.6知，N=CX(N)=Op(X)。又由I)知，|N|>p，所以G/MG为非超可解的。

令B=M∩X，V为P的极大子群，且对B的某个西洛p-子群Bp，有Bp≤V。设W和C≤V是G的子群，满足VW=G，V∩W=C∩W，其中C在G中是U-拟置换的。令T=W∩X，则有：

Ⅳ)V∩T≠1。

假设V∩T=1，则对T的某个西洛p-子群Tp，有|Tp|=p。因为(|X|,p-1)=1=(|T|,p-1)，所以T是p-幂零的，因此T≤NG(Tp′)，其中Tp′是T的霍尔p′-子群。由I)知，X/N≃B是p-幂零的，且对B的某个霍尔p′-子群Bp′，有B≤NG(Bp′)，显然Bp′和Tp′都是X的霍尔p′-子群。因为X是p-可解的，所以由文献[11]第六章1.7知，Bp′和Tp′在X中共轭。令x∈X且Bp′=(Tp′)x，如果Tx≤B，则X=VT=VTx=VB。但是因为Bp≤V，所以这是不可能的。因此TxB，B≤NG(Bp′)，从而N0=Y∩N≠1，显然N0正规于Y且Bp′≤CG(N0)，于是对N0的某个极小子群L，有B≤NX(L)，所以L正规于X，由文献[10]A章3.2知，|Ni|=p=|L|，i=1,…,t，这与Ⅱ)矛盾。

e) 由a)和d)直接可得G是非p-可解群。

f)X=G，如果N是G的极小正规子群，则N是非交换的，且G=NP，N是G唯一的极小正规子群，因此CG(N)=1。

由引理5a)知，假设的条件对(X,X)仍然成立，所以当X≠G时，由(G,X)的选择知，X是p-幂零的，这与c)矛盾，所以X=G。类似的，当NP≠G时，NP是p-幂零的，因此N≤Op(G)或者N≤Op′(G)，由a)和d)可知这是不可能的，因此G=NP，故G/N是p-群，于是N是G唯一的极小正规子群，显然N是非交换的，所以CG(N)=1。

g) 最后的矛盾。假设X=G有非单位的K-U-次正规p-子群C，则由f)和引理4知，C在CN中次正规，因此C≤Op(CN)，这表明C∩N=1。由文献[10]A章14.3知，N≤NCN(C)，NC=N×C，于是C≤CG(N)，这与f)矛盾，所以G没有非单位的K-U-次正规p-子群，因此P的每一个极大子群V在G中有补充T，且对T的西洛p-子群Tp，总有|Tp|=p。因为(|T|,p-1)=1，所以T是p-幂零的，因此P的每一个极大子群在G中都有一个p-幂零的补充，由引理9知，G是p-幂零的，矛盾完成了定理3的证明。

定理4设X≤E是G的正规子群，p为整除|X|的素数且(|X|，p-1)=1，令P为X的西洛p-子群。如果X的每一个西洛子群的极大子群在G中是PU-可补充的，且X=E或者X=F*(E)，则E≤ZΦU(G)，其中F*(E)是E的所有正规拟幂零子群的直积[12]。

证明：假设定理4不成立，设G为满足|G|+|E|最小的极小阶反例。令F=F(E)，F*=F*(E)，p为整除|F|的素数，P为F的西洛p-子群。则有：

a) 如果L是G的极小正规子群且L≤F，则L是非循环的。

假设|L|=q为一个素数，则G/CG(L)是循环的，令C0=CE(L)=CG(L)∩E，则假设的条件对(G/L，C0/L)成立。事实上，由文献[13]引理2.11知，L≤Z(C0)且L≤F*≤C0，又由文献[12]第十章13.6知，F*(C0/L)=F*(C0)/L=F*/L，因此由引理5b)和c)知假设的条件对(G/L，C0/L)仍然成立，这表明C0/L≤ZΦU(G/L)。另一方面，由G-同构E/C0=E/E∩CG(L)≃CG(L)E/CG(L)，可得E/C0≤ZΦU(G/C0)，从而E≤ZΦU(G)，矛盾。

b) 若X≤ZΦU(G)，则X=F*。

假设XZΦU(G)，令q为整除|X|的最小素数，则由定理3知，X是q-幂零的。设W=Oq′(X)是X的霍尔q′-子群，由引理5a)和c)知，假设的条件对(W,W)和(G/W,X/W)都成立。当W≠1时，W≤ZΦU(G)且X/W≤ZΦU(G/W)，因此由文献[10]A章9.13知，X≤ZΦU(G)，矛盾。因此W=1，易知X是q-群，又由定理3，X≤ZΦU(G)，所以由G的选择知，X=F*。

c)F*=F且CG(F)=CG(F*)≤F。

由b)知，F*是可解的，且F*=F，从而CG(F)=CG(F*)≤F。

d)E不可解且E=G。

假设E是可解的，则由b)和文献[8]定理A知，E≤ZΦU(G)，这与(G,E)的选择矛盾，因此E不可解。若E≠G，则由(G,E)的选择知，E≤ZΦU(E)且E是可解的，矛盾。

e)G的每一个包含F的正规真子群K都是可解的。

由文献[12]第十章知，F*=F≤F*(K)≤F*(E)，这说明F*(K)=F*。由引理5，假设的条件对(K,K)成立，因此(G,G)=(G,E)的极小选择说明K≤ZΦU(G)，从而K是可解的。

f)Φ(G)∩P≠1且对于G的每一个包含于Φ(G)∩P的极小正规子群L，F*(E/L)≠F*/L。

假设Φ(G)∩P=1。由引理6知，P是G的一些极小正规子群的直积，因此由引理7，P有一个正规于G的极大子群M。又由文献[10]A章9.13知，G有一个包含于P的p阶极小正规子群L，这与a)矛盾，因此Φ(G)∩P≠1。令L≤Φ(G)∩P，这里L是G的极小正规子群。假定F*(E/L)=F*/L，则假设的条件对G/L成立，由G的选择知，E/L≤ZΦU(G/L)，这表明L≤Φ(G)，所以E≤ZΦU(G)，矛盾表明F*(E/L)≠F*/L。

g) 由d)和e)知，G有唯一的包含F的极大子群M，且M是可解的，G/M为非交换单群。

h)G/F为非交换单群，且对于G的某个包含于Φ(G)∩P的极小正规子群L，G/L为拟幂零群。

由f)知，F*(G/L)=F*(E/L)≠F*/L，于是F/L=F*/L是F*(G/L)的真子群，且F*(G/L)=F(G/L)E(G/L)，这里E(G/L)是G/L的layer。又由g)知，G的每一个主序列都只有一个非交换的因子，但是因为E(G/L)/Z(E(G/L))是一些非交换单群的直积，所以F*(G/L)=G/L是一个拟幂零群。因为F(G/L)∩E(G/L)=Z(E(G/L))，所以G/F≃(G/L)/(F/L)是非交换单群。

i)F*=P.

假设P≠F，令Q为F的西洛q-子群，其中q≠p，则由G-同构PQ/P≃Q和断言h)知，Q≤Z∞(G)，这与a)矛盾。

j) 设p是|G|的极大素因子，则G的每一个西洛q-子群Q(q≠p)是交换的。

令D=PQ，由d)知，Dq且F(D)=P，所以p是|G|的极大素因子且D/F(D)≃Q是交换的。

3 结 语

本文利用有限群的PF-可补充子群的性质证明几个定理，即定理1和定理2等，得到有限群G的2’-超可解的、2-幂零性的一些充分条件。在后续研究中，将定理中的某些条件加以改进，观察能否得到有限群G的幂零性的一些结论，如考虑将定理3中的条件改为有限群G的正规子群的Sylow-子群的极大子群在G中的是PF-可补充的，在此条件下研究子群的PF-可补充性与有限群幂零性的关系。

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