根据历史，重构课堂

陈孝珍

摘 要：发生教学法的重点并不是对历史的谈论，而是在学生具备足够心理动机时，适时对某个主体的精心讲授。发生教学法在数学教学中进行应用时，教师应注重学生对未知事物猎奇心理的保护，并在此基础上引导学生对数学知识发生过程的经历与体验。

关键词：发生教学法；实施；案例分析

个体发育史重蹈种族发展史这一观点是德国生物学家海克尔（E.Haeckel）（1843—1919）于1866年提出的生物发生律。个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程这一教育教学中的规律也是海克尔生物发生律进行应用推理而得到的。将这些客观的原理运用于数学教学中，则个体对数学知识的理解过程遵循数学知识的发生发展过程这一规律也就不难理解了。

依赖历史作为教学线索并使之对教学产生启示的作用就是我们通常所说的发生教学法，发生教学法的重点并不是对历史的谈论，而是在学生具备足够心理动机时适时对某个主体的精心讲授。发生教学法应注重学生对未知事物猎奇心理的保护，并在此基础上引导学生对知识发生过程的经历与体验。本文以“有理数”第一章节中“正数和负数”这一知识点为例进行发生教学法具体实施过程的讨论与研究。

一、创设情境，引入新知

1. 旧知回顾

师：表示物体个数和事物顺序而产生的诸如1、2、3、4……这些数叫作什么数呢？

生：自然数。

师：什么数被用来表示“没有”？

生：自然數0。

师：对物体进行分割或者测量时结果不是整数，又出现了什么数？

生：分数（小数）。

师：这些数总共有多少个呢？

生：无数个。

师：请同学们观察以下情境。

2. 课件出示情境

甲、乙两人做买卖，甲赚了100元，乙亏了100元。

师：老师将两人做买卖时的赢利与亏损用表格（表1）进行表示，你们觉得合理吗？

生：不合理。

师：虽然赢利与亏损的数额都是100元，但其所代表的含义是相反的，对于这样一组相反意义的量，我们不能这么简单地表示。

3. 课件出示情境

请运用以前所学的知识来解决以下问题。

（1）文具盒价值15元，李铭给营业员20元，应找回几元？

（2）文具盒价值15元，李铭只准备了10元，能买回这个文具盒吗？为什么？

请列算式解答。

学生很快给出答案：20-15=5，15-10=5。

引导学生思考：第一个算式是李铭准备的钱数减去文具盒的价格，第二个算式我们能否也这样表达呢？结果会怎样？

学生列出算式：10-15，但无法解答，很多学生表示“不够减”。

数学相关历史引申：

这样类似的事情在生活中早就发生过，历史上很多数学家也曾在这个问题的解答上表示过困惑。

历史问题：早在公元3世纪，希腊数学家丢番图就在自己的著作《算术》一书中表达过方程4x+20=4是不具备什么意义的。另外，斐波拉契（1170—1250）这位意大利著名的数学家在《花朵》中也表达了方程x+36=33没有存在的依据，除非x所代表的这个数是人们欠下的3枚钱币。

这些显然都是不够减的问题。

教师提问：对于情境（1）和情景（2）中所表达的赚100元、亏100元以及（20-15），（10-15），你用什么方式对它们进行区分呢？

二、经历过程，自主探索

1. 大胆交流想法

（1）学生想出用不同的数字颜色、不同方向的箭头、正负号等多种方法来表示“赚”与“亏”。

（2）对于钱数不够时的表达，学生想出了用不同颜色、在5这个数字上做记号或者索性在5后面添上“不足”等字样的诸多办法。

2. 人类对负数表示方法的探索

数学家们在面对相反意义的量、不够减这些问题结果的表示时也是颇费周折的，他们也像学生们一样想出了很多的办法。魏晋时期的数学家刘徽提出了“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”的做法，也就是说在遇到这类问题时采用红色小棍代表正数、黑色小棍代表负数的表示方法，某些特殊的时候也可以用正放的小棍表示正数、斜放的小棍表示负数。不同颜色表示正负数的方式一直沿用至今，现在还经常有经济出现赤字等表示收入小于支出的表达。另外，还有13世纪数学家李冶在《测圆海镜》中将斜画一杠用来表示负数的历史事实记载等。除此以外，还有很多用文字表达负数的形式在古算中出现过，如不足、出、卖、付、弱等。

印度学者婆罗摩笈多在公元7世纪提出了用画小点或小圈来表示负数的做法。荷兰数学家吉拉尔在17世纪第一个提出了用“-”来表示负数的做法并得到了数学界的一致肯定，负数的表示方法到此时才算得到统一。

师：大家从历史上数学家们的探索可以看出，他们的很多想法与同学们的表达方式是相似的，表达方式虽然各有不同，但其最终的目的都是为了可以区分正负数，都是为了新数的表示方法的探寻。现在大家来发表一下看法，你觉得哪种方式最好？

生：用加减号表示最好，简洁且意义分明。

师：对，17世纪荷兰数学家吉拉尔提出的这个方式之所以得到大家的认同，正是有这些方面的原因。以前人们更多的是把“+”“-”作为运算符号来表示，后来因为有了性质上的区别，“+”“-”也因此有了正号和负号的专属称谓。

师：投影练习——

（1）如果某店今日赢利300元用+300元来表示，那么亏损300元应该用（ ）元表示。

（2）在行走时，若将向南走30米记作 +30米，则向北走30米应该记作（ ）米。

三、抽象归纳，重新建构endprint

1. 定义

诸如5、2.9%、4.8这些大于0的数都是正数，而像-5、-2.9%、-4.8这类在正数前加上“-”的数都是负数。有时我们在表示正数时，为了强调这些数字所表达的意义，即使是正数，也会在这些数字的前面加上“+”。比如+5、+3.9其实就是5、3.9，“+”读作“正”，但因為其特性可以省略不写。而“-”读作“负”，是具备明确的意义与作用的，不能省略。

2. 教师任意写出几组正负数让学生读写练习

3. 相反意义的量

师：具备相反意义的量在我们的实际生活中会经常遇到。（投影）

（1）汽车向南与向北各驶出20千米；

（2）气温从零上3摄氏度下降至零下3摄氏度。

请学生根据自己的生活经验举出一些类似的例子。

和学生一起归纳小结：用来表示相反意义的量的词一般有收入和支出，增加和减少，上升和下降等。

4. 找相反意义的量

师：与零上5摄氏度意义相反的量是什么？这个零上与零下是以什么来区分的？如何用正负号分别对它们进行表示？

5. 学生动手操作

师：现在老师为每位同学提供一个空白的温度计表，每根刻度线之间相差1摄氏度，如果我们将最下面一根线表示为0摄氏度，请问这根线往上2格式是多少摄氏度呢？

生：2摄氏度。

师：请同学们依此往上标到5摄氏度。

师：+5°C应该在哪里？

在学生找到+5°C的位置之后，教师追问：-5°C呢？

师：根据我们之前的操作和观察，可以发现这个空白的温度计图表上是没有记录零下温度的，那么零度以下的温度该怎么办呢？可以在这个图表中进行表示吗？如果可以，你觉得应该怎样表示呢？请同学们重新设计一下刻度，要使你最终设计的刻度既能显示零上温度，又能显示零下温度。

6. 交流和总结

当学生对零上温度、零下温度以及0摄氏度的对应刻度的位置确定以后，教师引导学生一起总结：零上温度与零下温度的位置应该在0摄氏度的位置确定以后才能确定，0只是正数与负数的一个分界，所以0°C并非代表“没有”，它也是一个确定温度的表示。

四、 拓展延伸，巩固内化

1. 相反意义的量

师：如果一种意义的量规定为正并用“+”表示，那么另一种与之相反意义的量就可以为负并用“-”来表示。

师：比如，如果将往前走30米记作+30米（读作正30米），那么往后退30米便可记作-30米（读作负30米）。同理，请同学们回答以下问题：如果将火车向西行进10千米记作+10千米（读作正10千米），那么火车向西行进-10千米的意义是什么呢？

生：向东行进了10千米。

师：正负数前面的正号和负号都可以省略不写吗？为什么？

生：正号可以，负号不可以。正号省略后，其意义不会改变，而负号省略后就变成相反的意义了。

例题：张兰的体重一个月之内增加了2kg，林华的体重在这个月内减少了1kg，李刚的体重没有变化。请分别写出张兰和林华在这个月中的体重增长值。

解：张兰、林华、李刚在这个月中的体重增长值分别为：2kg、-1kg、0kg。

正负数在生活中的应用十分广泛，比如地形图中某地区海拔高度的表示，我们可以将海平面的高度记作0 m，然后将该地区的高度与海平面进行比较后用正负数表示。

2. 练习

假如一只动物向南移动了30米，我们将之记作-30m，那么+12m表达的是什么含义呢？如果这只动物原地不动，我们应该怎样用数字做标记呢？

总之，教师在教学时要了解学生的原有学习基础，采用新颖多样的教学方法，开发学生的思维，充分发挥学生的主体作用，让学生能够主动地学习。教师应在课上及时检查学生的学习情况，优化学生的知识结构和思维方式，以达成课堂教学目标。endprint