题根教学模式在高三数学复习课中的有效应用

谷叶芬

摘要：高三数学复习课主要以例题教学为主要方式，怎样的例题教学更有效呢，本文通过对一节公开课的教学片断来描述题根教学模式在高三数学复习课中的有效应用。

关键词：高三；复习课；题根

题根不是一个概念、不是结论，而是一个问题。它是一个题族的根祖，一个题系中的根基，一个题群中的代表。高三阶段，需要大量的习题来巩固和加深对教学知识点的理解和应用。题根教学模式有利于学生有效的将高中数学知识点进行系统化、理论化的归类；有利于学生对零散的高中数学内容进行有效的加工处理，使其更加具有规律化；有利于学生对同一类型的题目进行模式化。在高三的复习中我尝试用题根教学的模式尝试解决高三数学复习课选题难、编题难、講题难的问题。

一、题根教学模式有利于固基础

很多老师在选题的时候会选择自己擅长的而非学生需要的或者是比较难的，学生需要花费很长的时间和精力来解决的。这样选题不仅达不到例题应有的效果，更浪费学生的有限的时间和体力。题目选择的过于简单或者过于难都无法达到好的复习效果，题根教学模式有利于帮助我们从浩瀚无边的题海中选择师生都需要的题。

2016年10月25日有幸在市绿耕送培活动中上了一节题为《一类锥体的体积探究》的公开课。在这节公开课中，我以题根教学模式在课堂中利用1道例题及其变式完成了锥体的体积复习。以下是我本节课的第1个教学片断：

例1、已知三棱锥S-ABC，△ABC是边长为1的正三角形，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）

生1：定义法（图1）：做平面ABC的垂线SD，则V=

生2：分割法（图2）：取AB的中点E，则由SA=SB，CA=CB，知AB 平面SEC，故V=

生3：分割法（图3）：过A做 ，连接BF，，由 ， ，故V=

师生总结：三棱锥的体积问题，本质是寻找锥体中的垂直关系，三棱锥S-ABC是含有两个全等面的三棱锥，而两个面全等，另外两个面一定为等腰，所以我们可以寻找AB的中点E，或者SC边的垂足来寻找线与面的垂直关系。

题根的选择应该帮助学生夯实基础，在教学片断1中，我选择的题根为一个常规的求锥体体积问题，这是一个常见的问题，切入点低，解题方法有定义法，分割法，补形法，以及作为一道选择题可以用放缩法。在本节课中学生共用了6种方法解决。实际上解决此题的方法至少有8种。如此基础而灵活的题根既帮助学生完成了对基础知识的回顾，丰富了解题方法，开拓了解题思路，也让学生升级了自己的解题技能。更重要的是固化了学生的学科基础，每一种方法的获得都是学生对学科知识体系的再巩固，再整理。

二、题根教学模式有利于活变式

变式教学是高三数学习题课的主要教学模式。任何一道题只要进行数据的改编，就是会不一样。但仅仅只是数据的变化，学生在变式的解题的过程中只是机械模式的训练。好的变式是对例题的巩固和升华，是对学生思维的开拓。题根教学模式有利于我们对变式进行灵活处理。以下是我的第2个教学片断：

变式：已知三棱锥S-ABC，AC=BC=1，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，则此棱锥的体积的最大值为____________

生4：由例1知，V= ，要计算体积的最大值，只需要计算 面积的最大值，设AB=x，则 = ，当x= 时，此三角形的面积最大，此三棱锥体积的最大值为

生5： = ，当 = 时，三角形面积最大，三棱锥的体积有最大值

师生总结：此题中，我们可以选择以AB的边长作为变量，也可以选择 为变量。事实上，当SAC固定之后，SBC可以看成是SAC绕着SC旋转所得到的面，而在旋转的过程中，二面角A-SC-B的平面角即为 ，显然当 = 时，体积最大。

所谓题根，它只是一个根本，想要学生在课堂中收获更多，我们要从题根做出探究的起点，引发更高一级的问题的产生。著名数学家希尔伯特说：数学宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数寻的问题就会代之而起。教学片断2中的变式是例1条件的弱化，引入一个变量。通过这个变量对两个全等面的这一类题型的动态巩固，它是一道本身带着光芒的变式。

三、题根教学模式有利于破难题

高三复习课肯定要用历年的优质真题，而把真题光秃秃地放在学生眼前，学生肯定是没有办法一下子接受并解决的。所以对真题做一个合理的铺垫尤为重要。在课堂中把真题作为一个跳一下就能摘到的苹果，送给学生当礼物，必然可以让学生获得解题的成就感和满足感。题根教学模式有利于我们在课堂中将难题突破。以下是我的第3个教学片断：

2016.浙理14：已知三棱锥S-ABC，AB=BC=2，∠ABC=120°.D为AC上一点且满足SD=DA，SB=BA，则四面体SBCD的体积的最大值是________

师生共同分析：由题意知 ，则由以上的变式只，当面ABD 面SBD时，四面体SABD的体积最大，此时四面体SBCD的体积的也为最大。过S作BD的垂线垂足记为H，则SH 平面BDC，

又因为 ，SH=AH，

故VSBCD= =

所以问题就转化为求AH。以下的解题学生就可以利用平面知识快速解决。

这道题是今年高考的一大难点，很多学生连蒙带猜得到了正确答案，但是并不知道它是如何通过严密的数学推理和精确的数学运算得到的。有以上的两个教学片断作为铺垫，这个题的解决也变得水到渠成。每一位靠自己的智慧解决问题的学生都会从中得到解题的成就感，并会因为爱上数学，爱上数学解题。

在整个教学过程中：教学片断1，选择了2012年全国高考第11作为题根，利用此题与学生一起复习空间几何体体积的求法。并归纳此三棱锥的特征——含两个全等面；教学片断2：一个变式，把一个静的几何体，转变为一个旋转的几何体，由此分析在旋转的过程中它保持基本量不变也就是一定会有两个全等面。旋转面与固定面垂直时几何体的体积最大。有了这个变式，教学片断3就水到渠成，学生很容易发现2016年浙江省高考理科第14题一个翻折问题，而不管是旋转还是翻折都有两个面是全等的，所以它也是一个全等面的锥体问题。

整节课解决了含有两个全等面的锥体的体积及其最值问题。而其根本就探讨此类锥体的垂直关系。而2016年10月的学考第18题（如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E、F、G、H分别在棱AD、BD、BC、AC上.若直线AB、CD都平行与平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为___）也正是此类问题的一个侧枝。当我们找到了“根”，所有的侧枝都是根的衍生物。例如本文中的三个教学片断，以例1为题根，变式和2016年浙江理科14题及2016年浙江10月学科18题都是例1的侧枝：当然这样的侧枝还有很多，只要我们平时注意整理，以例1为题根的这棵树就会越来越茁壮。而根系的发展除了题目间的相互联系之外，也有方法上的一脉相承，使得在复习的过程中学生能够举一反三。

题根是学生学习数学知识的一把钥匙，好的题根可以促进对原有知识的沟通联系，调整学生头脑中原有知识的逻辑关系，借以开阔学生的解题思路，促进思维的多向发展。有人说：我走过最多的路，就是数学的套路。而所有数学套路的取得离不开对基础知识的扎实掌握，离不开对每一个题根的深入探究。只要我们做一个教学的有心人，从某一个问题出发找出题根，由一个及一类进行教学，那么高三的复习课肯定会变得更加有内容，更加系统，更加有效。

参考文献：

[1]许世红.数学试卷分析方法[M] 华东师范大学出版社，2009.

[2]黄坪，尹德好.高中数学题根[M]华东师范大学出版社，2010.endprint